选修4-1 第一节 相似三角形判定及有关性质

选修4-1几何证明选讲,第一节相似三角形的判定及有关性质,高考成功方案第一步,高考成功方案第二步,高考成功方案第三步,高考成功方案第四步,考纲点击了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.,1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段，那么在其他直线上截得的线段也推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线,相等,相等,平分第三边,平分另一腰,2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的成比例3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数),对应线段,对应线段,对应角相等,判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应，并且，那么这两个三角形相似简述为：两边对应且，两三角形相似判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似简述为：三边，两三角形相似,两个角,成比例,夹角相等,成比例,夹角相等,成比例,对应成比例,(2)两个直角三角形相似的判定定理如果两个直角三角形的一个对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应，那么这两个直角三角形相似,锐角,成比例,(3)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于；相似三角形周长的比等于；相似三角形面积的比等于；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于，外接圆(或内切圆)的面积比等于,相似比,相似比,相似比的平方,相似比,相似比的平方,4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例,比例中项,中项,悟一法平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比,解：(1)EF是AD的垂直平分线，EDEA，EDAEAD.EDABBAD，EADCAECAD，BADCAD，BCAE.BEAAEC，BAEACE.,悟一法1证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等；若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例2证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解,解：(1)证明：ABCD，12.又BFEC，BFEBFACEDA，BFAADE.ABFEAD.,做一题例3如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.试证明：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.,(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理CD2CFAC.BD2CD2BEABCFAC.又RtBAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.,悟一法已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项,保持例题条件不变，求证：AEABAFAC.证明：ADBC，ADB为直角三角形又DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得AD2AFAC.AEABAFAC.,通一类3如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC的长,如图，在BDC中，过D作DEBC于E，,热点分析本考点主要考查平行线分线段成比例定理与相似三角形、射影定理在解决平面几何问题中的应用，且常与圆的有关知识相结合命题.2011年广东高考以梯形为载体，考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的应用，是高考命题的一个新方向,考题印证(2011广东高考)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_,答案：75,1如图，AD，BE是ABC的两条边上的高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2GFHF.,2.如图，已知在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.证明：(1)四边形ABCD是等腰梯形，ACDB.ABDC，BCCB，ABC