19-2定态的薛定谔方程

安徽理工大学2005级大学物理,物理教研室,第十八章量子物理基础,第二讲定态的薛定谔方程,本次课内容19-6实物粒子的波动性19-7不确定关系19-8量子力学简介（I）一波函数二薛定谔方程课本pp245255；练习册第十九单元,19-6实物粒子的波动性,光既有波动性，,又有粒子性，,那么实物粒子呢？,一、德布罗意波,德布罗意:既然光具有波粒二象性，实物粒子也应当具有波粒二象性。,相应的平面波称为德布罗意波或物质波,（德布罗意关系式，1924）,法国物理学家LouisdeBroglie获得1929诺贝尔物理学奖,动量p为的自由粒子，当速度较小时,E=p2/2m,由U伏电势差加速的电子，其动能E=eV,徳布罗意波长为,当V=150伏特时，=1，与软X射线具有相同的数量级。,例如，子弹m=0.01kg,v=300m/s,相应的徳布罗意波长为,。,I,二、戴维孙-革末实验（1927）,根据德布罗意假说,由加速电势差算得的波长为:,另有，（1）G.P.汤姆逊（1927年）电子通过金属多晶薄膜的衍射实验,（2）单电子双缝衍射实验：,7个电子,100个电子,3000个电子,20000个电子,70000个电子,说明:衍射图样不是电子相互作用的结果,它来源于单个电子具有的波动性。,这是一张果蝇的照片，是用电子显微镜拍摄的。电子显微镜的最基本原理是利用电子的波动性。,经典粒子，用坐标和动量来描述其运动状态；微观粒子，用坐标和动量来描述其运动状态出现不确定现象。,19-7不确定关系,德国物理学家W.Heisenberg1932诺贝尔物理学奖,1927年海森伯（W.Heisenberg）提出了测不准关系（不确定性原理）,X方向电子的位置不准确量为：,一级极小值位置和缝宽a之间的关系为：,X方向的分动量的测不准量为：,因为,所以,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：,说明：量子力学给出的结果是,这就是著名的海森伯不确定关系。,同理还有,通常此公式只用于数量级的估计，又常简写为,（“试题库”）,对于微观粒子的能量E及它在能态上停留的平均时间t之间也有下面的测不准关系：,原子处于激发态的平均寿命一般为,于是激发态能级的宽度为：,这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实这一点。,对于大量原子，在同一激发态能级上，有的停留时间长，有的停留时间短，其平均停留时间叫激发态的平均寿命。越长，E越小。反之，E越大。原子在有些能级上的寿命可长达1ms，这种能级叫亚稳态能级，在激光技术上有重要应用。,例1：质量为10g的子弹，具有200ms-1的速率，速率的测量误差为0.01%，问子弹位置的不确定量有多大？,解：子弹的动量为,动量的不确定量为,由不确定关系，子弹位置的不确定范围为,对宏观物体，不确定关系不起作用。,例2：原子线度的数量级为1，求原子中电子速度的不确定量。,解：原子中电子位置的不确定量为x=1，,由不确定性关系,电子的经典速度为：,电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,例1和例二表明，测不准关系式可以用来判别对于实物粒子，其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。,一张有趣的图片少女还是老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。,“冬虫夏草”-是虫还是草？,看到“冬虫夏草”这个名字，许多人都会感到奇怪；冬天还是动物，怎么夏天又变成了植物呢？自然界的变化，奥妙无穷，世界上就有这种一身兼动物、植物的奇特生物。冬天的形状完全是虫，夏天的形状又象是草，所以取了这么一个形象生动的名字-冬虫夏草。,用指数形式表示：,19-8量子力学简介（I）波函数和薛定谔方程,单色平面简谐波波动方程为：,1波函数,沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：,微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。,利用,其中波函数模的平方为：,波函数可写为：,波函数有什么物理意义呢？,德国物理学玻恩1954诺贝尔物理学奖,2波函数的统计解释-概率波,1926年，物理学Born提出了德布罗意波的统计解释。他认为波函数体现了发现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。,在某处发现一个实物粒子的概率同与波函数模的平方成正比。体积dV中发现一个粒子的几率为：,这就是玻恩对波函数的统计解释。,*单位体积内发现一个粒子的几率，即几率密度（波函数的物理意义）。,在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：,波函数必须满足的条件（标准条件）：,单值有限连续,（归一化条件）,“波函数本身没有直接的物理意义，波函数模的平方代表单位体积中粒子出现的几率。”,二、薛定谔方程,1.薛定谔方程的引入,一维自由粒子的波函数为：,显然,1933诺贝尔物理学奖,奥地利物理学家,一维自由粒子的含时薛定谔方程,有势力场中粒子的总能量为：,（1）,将和代如（1）式得,和,势场中一维运动粒子的薛定谔方程,在势场中，作三维运动粒子薛定谔方程为：,(拉普拉斯算符),(哈密顿算符),或记成,其中,二、定态薛定谔方程,如势函数不是时间的函数，即,代入薛定谔方程得：,用分离变量法将波函数写为：,则,和,这就是定态薛定谔方程,定态:能量取确定值的状态,与时间无关,