12.1实数的概念

12.1实数的概念,认识过程,人类对于宇宙的认识过程（地心说日心说日心地动学说太阳系银河系仙女星系）人类对数的认识也经历了一个逐步扩展的过程：,自然数0、1、2、3,分数、小数4/5、0.45、0.3,负数-2、-3/7、-0.53,有理数,回顾有理数的定义和分类,定义：整数和分数统称为有理数。分类：如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：,有理数,质疑,数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？早在公元前400多年，就有一位古希腊数学家希帕斯，他通过逻辑推演发现了这样的数。这一发现引发了数学史上的第一次危机。（详见无理数的发现）,发现,问题1：面积为2的正方形存在吗？（小组讨论，通过动手操作，剪拼正方形）,提示,方法一：两个边长为1的正方形，沿对角线剪开，得到四个一样的直角三角形，他们的面积都是0.5，再把这四个直角三角形拼成一个四边形，该四边形就是面积为2的正方形。,提示,方法二：将边长为2分米的正方形对折两次，得到各边中点，将相邻的两个中点一一连线，得到的四边形就是面积为2的正方形。,发现,问题2：正方形ABCD的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD的边长为x，那么x2=2这个数x表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用（读作“根号2”）来表示。,x,发现,追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？类似的，分别用（读作“根号3”）、（读作“根号5”）来表示。,发现,问题3：是有理数吗？,偶,偶数,p、q互素,有理数,发现,问题4：无限不循环小数还有吗？（请你再举出几个无限不循环小数的例子）圆周率我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002、0.1234567891011121314151617等.,归纳,无理数无限不循环小数叫做无理数(irrationalnumber)。无理数包括正无理数和负无理数。只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。,如和，和互为.,相反数,归纳,无理数实数有理数和无理数统称为实数。实数可以这样分类：,有限小数或无限循环小数,无限不循环小数,2020/5/8,例1将下列各数放入图中适当的位置：0，-2，4，3.14，0.3737737773（它的位数无限且相邻两个“3”之间7的个数依次加1个）.,有理数：整数：正整数：无理数：,0,-2,4,3.14,0,-2,4,4,0.3737737773,常见的无理数的形式有哪几种？,2020/5/8,例2判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.,无限不循环小数,2020/5/8,(5)无理数包括正无理数、负无理数和零。()(6)一个有理数，不是正数就是负数。()(7)带根号的数是无理数。（）(8)无理数是用根号形式表示的数。（）,X,零,2020/5/8,你是最棒的！,(9)开方开不尽的数是无理数。（）(10)最小的实数是零。()(11)任何实数的平方都是正数。（）(12)无理数一定是无限不循环小数。（）,零,不存在,练习,请构造几个大小在3和4之间的无理数。3.101001000100001（它的位数无限且相邻的两个“1”之间“0”的各数依次加1个）,用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：(1)分数。(2)0