第二章----Z变换PPT课件

-,1,第二章Z变换,-,2,2.1引言2.2Z变换2.2.1Z变换的定义2.2.2Z变换的收敛域2.3Z反变换2.3.1围线积分法（留数法）2.3.2部分分式展开法2.3.3幂级数展开法（长除法）2.4Z变换的性质2.5拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系2.5.1拉氏变换与Z变换2.5.2傅氏变换与序列的Z变换,-,3,2.6序列的傅里叶变换2.7傅里叶变换的一些对称性质2.8离散系统的系统函数，系统的频率响应2.8.1因果稳定系统2.8.2系统函数和差分方程的关系2.8.3系统频率响应的意义2.8.4频率响应的几何确定法2.8.5有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）,-,4,2.1引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。,-,5,离散时间信号与系统中频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,-,6,2.2.1Z变换的定义一个离散序列x(n)的Z变换定义为,2.2Z变换,式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Zx(n)表示对序列x(n)进行Z变换，也即,(2-1),(2-2),-,7,这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：,这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边变换对信号进行分析和变换。,-,8,2.2.2Z变换的收敛域显然，只有当式（2-1）的幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求,(2-3),-,9,要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：,-,10,-,11,分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。（1）有限长序列:序列x(n)只在有限区间n1nn2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即,-,12,其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,有时将开域(0,)称为“有限Z平面”。,-,13,例2-1x(n)=(n)，求此序列的Z变换及收敛域。解这是n1=n2=0时有限长序列的特例，由于所以收敛域应是整个z的闭平面(0|z|)，如图2-6所示。,-,14,图2-6(n)的收敛域(全部Z平面),-,15,例题求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。,解,这是一个有限项几何级数之和。因此,-,16,（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在nn1时有值，在nn1时x(n)=0。其Z变换为,(2-5),此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|右边序列及其收敛域如图1-23所示。,-,17,图1-23右边序列及其收敛域（n1n2时x(n)=0，其Z变换为,等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为,如果n20，则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|Rx+。,(2-7),-,23,例2-3x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域。解这是一个左边序列。其Z变换为,此等比级数在|a-1z|1，即|z|Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的(z)值，因此就不存在Z变换的解析式，这种变换就没有什么意义。,-,27,例1-9x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其Z变换为,设,-,28,若|a|1，则存在公共收敛域,其序列及收敛域如图2-9所示。若|a|1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。,-,29,图1-26双边序列及收敛域,-,30,Z变换无收敛域的序列,-,31,表2-1几种序列的Z变换,-,32,2.3Z反变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为x(n)=Z-1X(z)Z反变换的一般公式为若,(2-10),则,(2-12),-,33,图2-11围线积分路径,-,34,证,该积分路径c在半径为R的圆上，即z=RejRx-RRx+因为,(2-13),-,35,这个积分公式（2-13）也称为柯西积分定律。因此,或,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。,-,36,2.3.1围线积分法（留数法）这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续,在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有,(2-14),或,(2-15),-,37,ResX(z)zn-1,zk表示函数F(z)=X(z)zn-1在极点z=zk上的留数。式(2-14)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c内部各极点的留数之和。式（2-15）说明，函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。由式（2-14）及式（2-15），可得,(2-17),将式（2-14）及式（2-15）分别代入式（2-12），可得:,(2-18a),(2-18b),-,38,根据具体情况，既可以采用式（2-18a），也可以采用式（2-18b）。例如，如果当n大于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。如果当n小于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。,-,39,注意(2-17)式成立的条件是的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)zn-1=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。(2-17)式成立的条件是：N-M-n+12因此要求N-M-n1,-,40,现在来讨论如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数。设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有,(2-19),如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有,(2-20),-,41,例题已知,求Z反变换。,解,围线c以内包含极点a，如图粗线所示。当n|a|,-,43,式中，a是单阶极点。应用公式(2-19)，则,在z=0处有一个-n阶极点（n0），应用公式(2-20)，则,因此,-,44,即,这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。实际上，由于收敛域在函数极点以外，并且包括点，因此可以知道该序列一定是因果序列。用留数法计算的结果也证实了这一点。所以，在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此,-,46,即,上例中，在n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|a-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,-,51,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和,-,52,最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=an,-,53,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将x(n)表示为ann0 x(n)=x(n)=a|n|a-nn2，则X(z)的零极点如图所示。由收敛域可知x(n)是一个右边序列。因为极点全部是一阶的，因此X(z)能表示为:由,用式（2-25）求得系数为:,-,59,因此X(z)为,根据表2-1可得,或表示为,-,60,例题在这个例子中要考虑例2-7中给出的X(z)所对应的全部可能序列。,解根据零极点图和收敛域性质，X(z)有三种不同的收敛域：（1）|z|2,如例2-7,情况1已经证明是一个右边序列。(2),情况2对应于一个左边序列。(3),情况3则对应于一个双边序列。,-,61,-,62,因为X(z)的部分分式展开仅决定于X(z)的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。针对X(z)的三种不同的收敛域，根据表2-1可得：情况1：,情况2：,情况3：,-,63,2.3.3幂级数展开法（长除法）因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，即,所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。把X(z)展成幂级数的方法很多。例如，直接将X(z)展开成幂级数形式；当X(z)是log,sin,cos,sinh等函数时，可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式；当X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式时，可利用长除法，即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。,-,64,例1若X(z)为,求Z反变换。解直接将X(z)展开成,凭观察，x(n)就是,或者写成,-,65,例2若X(z)为X(z)=lg(1+az-1)|z|a|求Z反变换。解利用lg(1+x)，且|x|1的幂级数展开式，可得,所以,-,66,显然,-,67,例3若X(z)为,求Z反变换。解X(z)在z=-a处有一极点，收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，X(z)应展成z的降幂次级数，所以可按降幂顺次长除有,-,68,所以,则,-,69,例4若X(z)为,求Z反变换。解X(z)在z=a处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列应该是左边序列，X(z)应展成z的升幂次级数，因此应按升幂顺次长除有,-,70,-,71,故,则,-,72,从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确地决定是按升幂长除，还是按降幂长除。如果收敛域是|z|Rx+，则x(n)必然是左边序列，此时应将X(z)展开成z的正幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的升幂（或z-1的降幂）排列。,-,73,2.4Z变换的性质,1.线性Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,Zx(n)=X(z)Rx-|z|Rx+Zy(n)=Y(z)Ry-|z|Ry+那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)-0。实际上，由于x(n)是n0的有限长序列，故收敛域是除了|z|=0外的全部Z平面。实际上，上一小节讲Z反变换时，其中的部分分式分解法已经使用了Z变换的线性叠加特性。,-,76,2.序列的移位,位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。,(2-29),证,-,77,3.乘以指数序列（Z域尺度变换）,证,(2-30),-,78,例,|z|1,|z|a|,-,79,4.X(z)的微分(序列的线形加权),证,交换求和与求导的次序，则得,所以,(2-31),-,80,例利用X(z)的微分特性求下面序列的Z变换。x(n)=nanu(n)=nanu(n)=nx1(n)解,|z|a|,利用微分特性有,|z|a|,-,81,5.复序列的共轭,(2-32),式中，符号“*”表示取共轭复数。,证,-,82,6.翻褶序列,(2-33),证,而收敛域为,故可写成,-,83,7.初值定理对于因果序列x(n)，即x(n)=0,n0,有,证由于x(n)是因果序列，则有:,(2-34),-,84,8.终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1处外，其余都在单位圆内，则,(2-35),证利用序列的移位性质可得,再利用x(n)为因果序列可得,-,85,分析一下(z-1)X(z)的收敛域。由于X(z)在单位圆上只有在z=1处可能有一阶极点，函数(z-1)X(z)将抵消掉这个z=1处的可能极点，因此(z-1)X(z)的收敛域将包括单位圆，即在1|z|上都收敛，所以可以取z1的极限,-,86,由于是X(z)在z=1处的留数，因此终值定理也可用留数表示，即:,-,87,9.序列卷积（卷积定理）若,则,(2-37),-,88,Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被抵消，收敛域可扩大。,证,maxRx-,Rh-|z|minRx+,Rh+,-,89,在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积;利用卷积定理，通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的Z反变换，从而可得y(n)。这个定理得到广泛应用。,-,90,例设x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n)*h(n)。,解,所以,-,91,其Z反变换为,显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图2-15所示。,-,92,图2-15Y(z)的零极点及收敛域,-,93,10.序列乘积（复卷积定理）,若,则,(2-38),-,94,式中，c是哑变量V平面上X(v)与Y(z/v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线，满足:,将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,V平面收敛域为,(2-40),-,95,证,-,96,由推导过程看出X(v)的收敛域就是X(z)的收敛域，Y(z/v)的收敛域（z/v的区域）就是Y(z)的收敛域（z的区域），从而收敛域亦得到证明。不难证明，由于乘积x(n)y(n)的先后次序可以互调，故X,Y的位置可以互换，故下式同样成立。,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,而此时围线c所在收敛域为,(2-41),-,97,复卷积公式可用留数定理求解，但关键在于确定围线所在的收敛域。,(2-44),式中，dk为,在围线c内的全部极点。,若用v=ej,z=ej代入式(2-38)，则可得,显然，上式是X(ej)与Y(ej)的卷积，又称为复卷积。,(2-41),-,98,例设,应用复卷积定理求两序列的乘积即w(n)=x(n)y(n)。,解,-,99,利用复卷积公式（2-41）,根据式（2-42），围线c所在的收敛域为max1/3,0|v|min,2|z|或1/3|v|1/6，则,也可以将序列直接相乘验证这个结果。,则,-,103,11.帕塞伐（Parseval）定理利用复卷积定理可以得到重要的帕塞伐定理。若有两序列x(n)、y(n)，则有:,X(z)=Zx(n)Rx-|z|Rx+Y(z)=Zy(n)Ry-|z|Ry+它们的收敛域满足以下条件：,Rx-Ry-|z|=1Rx+Ry+,那么,(2-46),-,104,式中，“*”表示取复共轭，积分闭合围线c应在X(v)和Y*(1/v*)的公共收敛域内，即,证令,w(n)=x(n)y*(n),由于,Zy*(n)=Y*(z*),-,105,利用复卷积公式可得,Rx-Ry-|z|Rx+Ry+,由于假设条件中已规定收敛域满足Rx-Ry-11(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴与z的相角的关系式=0（S平面的实轴）=0（Z平面正实轴）由-/T增至0由-增至0由0增至/T由0增至,-,115,可见，由-/T增至/T，对应于由-经0增至，即在Z平面上旋转一周。综上所述，可得结论：S平面上宽度为2/T的水平带映射到整个Z平面。同样，每当增加一个抽样角频率s=2/T，则相应的增加一个2，也即在Z平面上重复旋转一周，如图2-18所示。因此S平面到平面的映射是多值映射。,-,116,图2-18S平面与Z平面多值映射关系,-,117,有了S平面到Z平面的映射关系，就可以进一步通过理想抽样所提供的桥梁，找到连续信号xa(t)本身的拉普拉斯变换Xa(s)与抽样序列x(n)的Z变换X(z)之间的关系。将式（1-40）重写如下：,将此式代入到式（2-50），即得X(z)与Xa(s)的关系：,(2-53),-,118,2.5.2连续信号的傅氏变换与序列的Z变换的关系我们再看傅氏变换与Z变换的关系，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即s=j，映射到Z平面上正是单位圆z=ejT，将这两个关系代入到式（2-50）可得,(2-55),式（2-55）说明：抽样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换（频谱）。,-,119,2.5.3序列的傅氏变换与Z变换的关系从式=T我们看到，Z平面的角变量直接对应着S平面的频率变量，因此具有频率的意义，称为数字频率，它与模拟域频率的关系是,（2-57）,可以看出数字频率是模拟角频率对抽样频率fs的归一化值，它代表了序列值变化的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于抽样周期T），而没有绝对时间和频率的意义。,-,120,将式（2-57）代入式（2-55）可得,(2-58),可见，单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。,-,121,2.6序列的傅里叶变换,因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（2-1）Z变换的定义，用ej代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为：,-,122,这个公式成立的条件是X(z)在单位圆上必须收敛，也即序列x(n)必须绝对可积。这样序列的傅里叶变换归结为：,再根据Z反变换的公式（2-12），并将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式：,-,123,正变换,(2-59),反变换,(2-60),其收敛条件为,绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是说，若序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续。,-,124,图例序列及其傅里叶变换,-,125,表2-3序列傅里叶变换的主要性质,-,126,表2-3序列傅里叶变换的主要性质,-,127,常见序列的傅里叶变换对,-,128,一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)，则称该序列为共轭对称序列。分析对称关系：设序列其中分别表示实部和虚部。则则应满足这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。特殊地，如序列是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,-,129,2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。分析：,根据定义，则应满足,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,-,130,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,-,131,两分量的求取：,-,132,三、序列的傅氏变换也可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和,其中，,-,133,四、两个基本性质,证明：,-,134,证明：,-,135,五、序列的实、虚部与其傅氏变换共轭对称、反对称分量的对应关系,序列的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量,证明：,-,136,2.序列的j倍虚部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量,证明：,-,137,六、序列的共轭对称、反对称分量与其傅氏变换的实、虚部的对应关系,序列的共轭对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,-,138,2.序列的共轭反对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j,证明：,-,139,七、序列为实序列的情况,即是说，实序列的傅里叶变换是共轭对称的。,-,140,证明：,比较即得上述结论。,-,141,证明：,比较即得上述结论。,-,142,6.实序列偶部、奇部的傅里叶变换性质：,-,143,2.8离散系统的系统函数，系统的频率响应,在1.2节中已经讨论过，在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为,对等式两端取Z变换，得,则,-,144,我们把H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即,(2-75),在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。,-,145,2.8.1因果稳定系统1、因果系统：单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统，因此因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,45页,-,146,2、稳定系统由1.6节中的讨论已知，一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即,而Z变换的收敛域由满足的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。,（1-28）,-,147,3、因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,-,148,2.8.2系统函数和差分方程的关系1.3节中已说明，一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N阶常系数线性差分方程的一般形式为,若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得,-,149,这样就得到系统函数为,（2-76）,由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。式（2-76）是两个z-k的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得,（2-77）,-,150,式中，z=cm是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数ak和bm决定。因此，除了比例常数K以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。但是式（2-76）（或式（2-77）并没有给定H(z)的收敛域，因而可代表不同的系统。这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。,-,151,例1已知系统函数为,2|z|,求系统的单位脉冲响应及系统性质。解系统函数H(z)有两个极点z1=0.5,z2=2。从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。,由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。,-,152,例2系统函数不变，但收敛域不同。,求系统的单位脉冲响应及系统性质。解收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得,由于存在2nu(-n-1)项，因此系统是非因果的。,-,153,2.8.3系统频率响应的意义为了研究离散线性系统对输入频谱的处理作用，有必要研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应，即系统的频域表示法。对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为的复正弦序列：x(n)=ejn-n1/2。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。,-,164,对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为,-,165,（2）解法一：,系统的频率响应为,由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入x(n)=ejn时，应用公式（2-78），可得输出响应为,-,166,解法二：,-,167,2.8.4频率响应的几何确定法观察式(2-77）可以发现，一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应。式（2-77）已表示出H(z)的因式分解，即用零、极点表示为,(2-85),-,168,这时用z=ej代入，即得系统的频率响应为,(2-86),Cm=ej-cm同样，ej-dk可以由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示Dk=ej-dk,在Z平面上，ej-cm可以用一根由零点cm指向单位圆上ej点的向量Cm来表示,-,169,因此,以极坐标表示有：Cm=mejmDk=lkejkH(e