第一章 集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词专家讲坛,目录,备考方向要明了,1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,考什么,2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.,考什么,1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力如(理)2012年全国T1，江西T1等(文)2012年天津T9等2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断如(文)2012年全国T1，福建T1，湖北T1等(理)2011北京T1.,怎么考,怎么考,(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力如(理)2012北京T1、陕西T1、山东T1等(文)2012陕西T1、上海T2等.,归纳知识整合,1元素与集合(1)集合元素的特性：、无序性(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作；若b不属于A，记作.(3)集合的表示方法：、图示法,确定性,互异性,aA,bA,列举法,描述法,(4)常见数集及其符号表示,N,N*或N,Z,Q,R,探究1.集合Ax|x20，Bx|yx2，Cy|yx2，D(x，y)|yx2相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A是以方程x20的解为元素的集合，即A0；B是函数yx2的定义域，即BR；C是函数yx2的值域，即Cy|y0；D是抛物线yx2上的点组成的集合20与集合0是什么关系？与集合呢？提示：00，或,2集合间的基本关系,都相同,任何集合,任何,非空集合,AB,BA,AB,AB,探究3.对于集合A，B，若ABAB，则A，B有什么关系？提示：AB.假设AB，则ABAB，与ABAB矛盾，故AB.,3集合的基本运算,AB,AB,UA,xA，,或xB,xA，,且xB,x|xU，且xA,探究4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？提示：一般情况下不相同，如A0,1在全集B0,1,2中的补集为BA2，在全集D0,1,3中的补集为DA3,自测牛刀小试,3已知集合M1，m2，m24，且5M，则m的值为()A1或1B1或3C1或3D1，1或3解析：51，m2，m24，m25或m245，即m3或m1.当m3时，M1,5,13；当m1时，M1,3,5；当m1时M1,1,5不满足互异性m的值为3或1.,答案：B,集合的基本概念,本例(2)中，将“9(AB)”改为“AB9”，其他条件不变，则实数a为何值？解：AB9，9A且9B，2a19或a29，即a5或a3.当a5时，A4,9,25，B0，4,9，AB4,9，不满足题意，a5.,当a3时，A4,5,9，B2，2,9，不满足集合中元素的互异性，a3.当a3时，A4，7,9，B8,4,9，AB9，符合题意，a3.,解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性,1(1)已知非空集合AxR|x2a1，则实数a的取值范围是_(2)已知集合Ax|x22xa0，且1A，则实数a的取值范围是_解析：(1)集合AxR|x2a1为非空集合，a10，即a1.(2)1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.答案：(1)1，)(2)(，1,集合间的基本关系,答案(，8)2，),根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论,答案：2,2),集合的基本运算,例4非空集合G关于运算满足：(1)对任意a、bG，都有abG；(2)存在cG，使得对一切aG，都有accaa，则称集合G关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：G非负整数，为整数的加法；G偶数，为整数的乘法；G平面向量，为平面向量的加法；G二次三项式，为多项式的加法,集合中的新定义问题,解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质(2)按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解诀,创新交汇与集合运算有关的交汇问题1集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中2解决集合的创新问题常分三步：(1)信息提取，确定化归的方向；(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点,点击此处进入演练知能检测习题Word版,备考方向要明了,1.理解命题的概念2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.,考什么,1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式：(1)考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题的重点(2)考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形式为考查重点如(文)2012年湖南T3.(理)2012年湖南T2.,怎么考,3.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题：(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主如(文)2012年福建T3，天津T5，上海T16等(理)2012年北京T3，天津T2，安徽T6等,怎么考,(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题(3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围如(理)2011年陕西T12.(文)2011年陕西T14.,怎么考,1命题在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系,判断真假,(1)四种命题间的相互关系,若q则p,(2)四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性探究1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数可能有几个？提示：由于原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4.,相同,没有关系,3充分条件与必要条件(1)如果，则p是q的充分条件，的必要条件(2)如果，则p是q的充分必要条件，记作pq.,pq,q是p,pq，且qp,探究2.“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的3命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：逆命题为真即qp，逆否命题为假，即p是q的必要不充分条件,四种命题及其真假判断,判断四种命题间的关系的方法(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提.,充分条件、必要条件的判断,答案（1）（文）C(理)A（2）A,充要条件的应用,答案：(0,1),创新交汇与充要条件有关的交汇问题,1充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高考的热点内容，多与函数、不等式、向量、立体几何、解析几何等交汇命题2突破此类问题的关键有以下四点：(1)要分清命题的条件与结论；(2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理；(3)要注意等价命题的运用；(4)当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题直观、易于判断,答案3或4,点击此处进入演练知能检测习题Word版,备考方向要明了,1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2.理解全称量词与存在量词的意义3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.,考什么,1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解，但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客，多为选择题，其中，综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题的一个热点如(文)2012年山东T5等(理)2012年辽宁T4等2.对全称量词与存在量词的考查，主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断，多为选择题或填空题，试题难度一般如(文)2012年安徽T4，辽宁T5，湖北T4等(理)2011年湖北T2等.,怎么考,真,真,真,真,真,真,假,假,假,假,假,假,xM，p(x),xM，p(x),3含有一个量词的命题的否定,探究2.全称命题(存在性命题)的否定还是全称命题(存在性命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？提示：不是全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好相反,含有逻辑联结词的命题的真假判断,ABCD,答案D,全称命题、特称命题的真假判断,1全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题,含有一个量词的命题的否定,2常见词语的否定形式：,正面词语,是,都是,至少有一个,至多有一个,对任意xA使p(x)真,否定词语,不是,不都是,一个也没有,至少有两个,存在x0A，使p(x0)假,3命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是_解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.答案：有些可以被5整除的数，末位不是0,根据命题真假确定参数的取值范围,点击此处进入演练知能检测习题Word版,三法破解集合运算和充要条件判断的问题,一、三法定乾坤谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果,1.列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：,2.数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算其求解的基本步骤是：,二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大充要条件的判断问题要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述方式的差异，先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再判断利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然后构造相应的不等式进行处理,1.定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系其基本步骤是：,答案必要不充分,点评判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假两命题的真假与p、q之间的关系如下表所示：,命题A,命题B,p、q之间的关系,真,真,p为q的充分必要条件,真,假,p为q的充分不必要条件,假,真,p为q的必要不充分条件,假,假,p为q的既不充分又不必要条件,2.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为：,綈p是綈q的既不充分也不必要条件,p是q的既不充分