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第三章导数应用1.2函数的极值,武宣县第二中学覃世丹,复习:,利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数;,解不等式0得f(x)的单调递增区间;解不等式f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,求可导函数f(x)的极值,一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,要注意以下两点:,(2)不可导点也可能是极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.,(1)可导函数的极值点一定是导数为零的点,导数为零的点,不一定是该函数的极值点.,例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,解:,令,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时,y的变化情况如下表:,例1:求的极值.,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=.,总结:求f(x)的极值的步骤:,2.求导数,3.求方程的根.,(4)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.,1.求函数的定义域,例、,0,0,0,-,-,+,+,减,减,增,增,1,0,1,导数为零的点不一定是极值点！,x=-1,x=0,x=1;,x=0是函数极小值点y=0.,练习:求函数的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.,练习:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,1.用导数来确定函数的极值步骤：,（1）先求函数的导数f/(x)；,（2）再求方程f/(x)=0的根；,（3）列出导函数值符号变化规律表；,（4）利用从+、0、-判断函数极大值；利用从-、0、+判断函数极小值；,极大值,极小值,小结:,2.函数的极值注意事项：,(4)函数的不可导点也可能是极值点;,(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;,(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有
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