11.4无理数与实数

课题,知识与技能：,1.了解无理数的概念和它的本质特征-无限不循环；,2.会用整数估计无理数的大小；,3.知道无理数可以用数轴上的点表示；4.会准确找出有理数及无理数。,过程与方法：,1.学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,在一系列的探究活动中，让学生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养，形成科学的思维方式；,2.培养学生的数感和估算能力；,情感与态度：,1.创造一个让学生自主探索与合作交流进行学习的氛围，让学生体验探索、交流、合作的乐趣；,2.在学生的讨论和问题解决的探索中，通过对学生学习方法的指导，提高学生的探究能力与合作精神；,教学重点：,教学难点：,无理数概念的本质；,无理数的发现过程和概念的建立.,（1）观察下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？（2）你认为是整数吗？是分数吗？你能说出它在哪两个整数之间吗？（3）请用计算器把和写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？（4）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数?无理数是否也可以用数轴上的点表示出来吗?,本节课将对下列问题进行探讨：想一想、做一做,把下列各数表示成小数：,探究活动：,（一）创设问题情景：,问题：观察它们的小数部分有什么特点？,事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.,反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.,有理数：有限或无限循环小数叫做有理数。,整数,分数,你认为是整数吗？是分数吗？你能说出它在哪两个整数之间吗？,探究活动：,这些有理数的小数部分有什么特点？,有理数只能和有限小数或无限循环小数等同.,（一）创设问题情景：,探究活动：,拿出边长为2cm的正方形纸片，按照如图所示的方式折纸.,问题：阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？,小结：阴影正方形的边长恰好是边长为1cm的正方形的对角线,所以边长为1个单位长度的正方形的对角线长为.,折纸活动-认识的几何意义和客观存在性,2,2,1,（二）探索新知过程：,议一议：,我们已经知道:是面积为2的正方形的边长；是边长为1的正方形的对角线长；是2的算术平方根。,那么等于多少呢？你认为是整数吗？是分数吗？你能说出它在哪两个整数之间吗?你是否能估算出它的大致范围？,探究活动,自主探索认识根号2的大小范围及用计算器算得的根号2的值近似值.,可见，根号2大于1.41而小于1.42.即：,自主探索认识根号2的大小范围及用计算器算得的根号2的值近似值.,1）12=1，22=4，32=9，,平方数越来越大，根号2不是整数。,2)一般地，分数指最简分数。两个相同的最简分数相乘，结果仍是最简分数。因此a不可能是分数。即根号2不是分数。,取中值估值法,探究活动,1.4142135622_.,用计算器计算：_;,计算器显示的不是全部数据，是一个近似值.,1.414213562,问题：1.414213562不是的算术平方根，什么原因？是计算器算错了吗？,1.999999999,不是计算器算错了.我们用计算器很轻松地得到但由于，只是接近2，这一方面说明1.414213562不是2的算术平方根;但另一方面还说明用计算器算得的的值是一个近似值，不是准确值.,再用高级电脑还能计算出更多位的数,再计算,可设,用计算器计算得，,所以,因为1.41421356221.9999999992，,0r1,两边平方，得,21.414213562221.414213562rr2，,21.414213562221.414213562r,显示的小数点后400位数字,想一想：,1.414213562有什么特点？是我们学过的有理数吗？,无理数定义：,问题：你能举出一些无理数的例子吗？,无限不循环小数叫做无理数.,无限不循环,阅读课本69页关于无理数的由来。及上网搜寻与无理数有关的事例。,圆周率及一些含有的数,开不尽方的数,有一定的规律，但不循环的无限小数,无理数的特征:,注意:带根号的数不一定是无理数,也就是说:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.,问题2:的几何意义是什么？,问题1：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来吗?,是边长为1的正方形的对角线长,是面积为2的正方形的边长,你能把在数轴上表示出来吗？,思考：如何在数轴上找到表示的点吗?,O,结论：任何一个无理数均可以在数轴上准确地表示出来。,探究活动,数轴上的点与有理数一一对应吗？无理数呢？,11.4无理数与实数,1.无理数：无限不循环的小数叫做无理数。如：0.1010010001两个1之间依次多1个02.有理数：有限小数和无限循环小数组成有理数。3.有理数和无理数统称为实数。4.实数的分类：,实数,有理数,无理数,正有理数,零,负有理数,有限小数或无限循环小数,正无理数,负无理数,无限不循环小数,实数,正实数,负实数,零,正有理数,正无理数,正整数,正分数,负有理数,负无理数,负整数,负分数,实数,有理数,无理数,整数,分数,正无理数,负无理数,正整数,零,负整数,正分数,负分数,例1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？,试一试,，3.14，1.732，0.03，18，0.484848，0.3131131113（两个3之间依次多一个1）,例2.判断正误，在后面的括号里对的用“”，错的记“”表示，并举例说明理由：,(1)无理数都是开方开不尽的数()(2)无理都是无限小数.()(3)无限小数都是无理数.()(4)不带根号的数都是有理数.()(5)带根号的数都是无理数.()(6)有理数都是有限小数.()(7)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（）,（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）,有理数集合,无理数集合,一.把下列各数分别填入相应的集合内：,二、判断下列说法是否正确：,1.无理数就是客观现实不存在的数。（）2.无限小数都是无理数。（）3.无理数都是无限小数。（）4.带根号的数都是无理数。（）5.两个无理数