8.4 直线、平面平行的判定及性质

8.4直线、平面平行的判定及性质要点梳理1.直线a和平面的位置关系有、,其中与统称直线在平面外.2.直线和平面平行的判定：(1)定义：；(2)判定定理：a,b,且ab；(3)其他判定方法：,a.,平行,相交,在平面内,直线和平面没有公共点，则称直线平,行于平面,a,a,平行,相交,基础知识自主学习,3.直线和平面平行的性质定理：a,a,=l.4.两个平面的位置关系有、.5.两个平面平行的判定(1)定义：；(2)判定定理：a,b,ab=M，a,b；(3)推论：ab=M,a,b,ab=M,a,b,aa,bb.,al,平行,相交,两个平面没有公共点，称这两个平面,平行,6.两个平面平行的性质定理：(1),a;(2),=a,=b.7.与垂直相关的平行的判定：（1）a，b；（2）a，a.,a,ab,ab,基础自测1.若平面平面，直线a平面，点B,则在平面内且过B点的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线解析当直线a在平面内且经过B点时，可使a平面，但这时在平面内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.,A,2.下列条件中，能判断两个平面平行的是()A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析由面面平行的判定定理易知选D.A、B、C中的两个平面可能相交，如图所示.,D,3.平面平面的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b解析A、B、C中与都有可能相交，故选D.,D,4.下列命题中正确的个数是()若直线a不在内，则a;若直线l上有无数个点不在平面内,则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交.A.1B.2C.3D.4,解析a=A时，a,错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab,b时，a或a，故错；l,l与无公共点，l与内任一直线都无公共点，正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，正确.故选B.答案B,5.考察下列三个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l、m为直线，、为平面），则此条件为.解析体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l为平面外的直线”即“l”，它同样也适合，故填l.,题型一直线与平面平行的判定与性质如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.根据直线与平面平行的判定定理或平面与平面平行的性质定理来证明.,题型分类深度剖析,证明方法一分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.,方法二过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理(a,b,aba)；利用面面平行的性质定理(,aa)；利用面面平行的性质（,a,a,aa).,知能迁移1如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG平面DEF，证明如下：方法一连接CG交DE于点H，连接FH，如图所示.DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D是AC的中点，且DHAG.,H为CG的中点.FH是SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH平面DEF，SG平面DEF.方法二EF为SBC的中位线，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可证，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.,题型二平面与平面平行的判定与性质如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.由面面平行的判定定理知只需证BD1、A1B平行于平面ADC1,已知A1B平面AC1D,则只需证BD1平面ADC1.,证明连接A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点，连结ED，A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1D=ED，A1BED，E是A1C的中点，D是BC的中点.又D1是B1C1的中点.BD1C1D，又C1D平面AC1D，BD1平面AC1D，又A1BBD1=B，平面A1BD1平面AC1D.,证明面面平行的方法有：（1）面面平行的定义；（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,知能迁移2如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中点.（1）求证：E、B、F、D1四点共面；（2）求证：平面A1GH平面BED1F.证明（1）连结FG.AE=B1G=1，BG=A1E=2，BGA1E，A1GBE.又C1FB1G，四边形C1FGB1是平行四边形，FGC1B1D1A1，,四边形A1GFD1是平行四边形.A1GD1F，D1FEB，故E、B、F、D1四点共面.（2）H是B1C1的中点，B1H=.且FCB=GB1H=90，B1HGCBF，B1GH=CFB=FBG，HGFB.又由（1）知，A1GBE，且HGA1G=G，FBBE=B，平面A1GH平面BED1F.,题型三线面、面面平行的综合应用（12分）如图所示，平面平面,点A,C,点B，D,点E,F分别在线段AB,CD上，且AEEB=CFFD.（1）求证：EF;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长.将异面问题转化为平面问题，通常是构造平行线或构造三角形.,（1）证明当AB，CD在同一平面内时，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，2分AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.4分当AB与CD异面时，设平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，6分在AH上取一点G，使AGGH=CFFD，,又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.8分（2）解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60或120，10分,在EFM中由余弦定理得，面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用.解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化.,12分,知能迁移3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.证明（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.,（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC，又D1GDC，OED1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.,方法与技巧1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的重要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）面与面平行的性质.,思想方法感悟提高,3.平面与平面平行的主要判定方法（1）定义；（2）判定定理；（3）推论；（4）a,a.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的尽可能应用向量解决，可使问题简化.,一、选择题1.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题:若l与m为异面直线，l,m,则；若，l,m,则lm;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.0,定时检测,解析中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可能异面.同理ln,则mn,正确.答案C,2.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()A.lB.lC.l与相交但不垂直D.l或l解析l时，直线l上任意点到的距离都相等，l时，直线l上所有的点到的距离都是0，l时，直线l上有两个点到距离相等，l与斜交时，也只能有两点到距离相等，故选D.,D,3.已知直线m,n及平面，其中mn,那么在平面内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是一条直线；一个平面；一个点；空集.其中正确的是()A.B.C.D.解析当m,n都在内时，是一条直线.当m,n分别在的两侧都平行于且到的距离相等时，是一个平面.当m,n都平行于，但到的距离不相等时，是空集，任何时候都不可能只有一个点满足条件.,C,4.（2009福建）设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()A.m且l1B.ml1且nl2C.m且nD.m且nl2解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB面A1B1CD,CD面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF面ABB1A1，C1D1面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不,平行,故C不对；虽然EFAB且C1D1面A1B1BA,但是面EFC1D1与面A1B1BA不平行，故D不正确.对于选项B，当l1m,l2n且m,n时，有l1,l2.又l1与l2相交且都在内，时，无法推出ml1且nl2.l1m且l2n是的充分不必要条件.答案B,5.已知平面平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D且PA=6,AC=9，PD=8，则BD的长为()A.16B.C.14D.20解析根据题意可出现以下如图两种情况：可求出BD的长分别为.,B,6.（2008湖南）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是()A.若m,n,则mnB.若m，n,m,n,则C.若，m，则mD.若,m,m,则m解析若，m，n，可知m,n,但m与n可以相交，所以A不对；若mn,即使有m,n,m,n,与也可以相交，所以B不对；若，中仍有不与垂直的直线，例如与的交线，故C不对；若,则在中可作与垂直的直线n,又m，则mn，又m，所以m，故D正确.,D,二、填空题7.过长方体ABCDA1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有条.解析如图所示，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条,连接MN，则MN面ACC1A1，这样的直线也有4条（包括MN），共12条.,12,8.到空间不共面的四点距离相等的平面有个.解析如下图分类，一类如图(1)将四点视为三棱锥四个顶点,取棱中点,可以做如图(1)平面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样的平面有4个；另一类如图(2)取各段中点，四个点形成平面平行于三棱锥相对棱，这样的平面有3个，共7个.,（1）（2）,7,9.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有MN平面B1BDD1.解析由题意，HN面B1BDD1，FH面B1BDD1.面NHF面B1BDD1.当M在线段HF上运动时，有MN面B1BDD1.,M线段HF,三、解答题10.如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心.证明：PQ平面BCC1B1.证明方法一如图取B1B中点E，BC中点F，连结PE、QF、EF，A1B1B中，P、E分别是A1B、B1B的中点,PEA1B1.同理QFAB.,PQEF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1.方法二如图，连结AB1，B1C，AB1C中，P、Q分别是A1B、AC的中点，PQB1C.又PQ平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1.,又A1B1AB，PEQF.四边形PE