三重积分详解.ppt

三重积分,第二节,一、三重积分的概念,三重积分的性质与二重积分的类似。,特别地，,z2(x,y),I=,P,N,M,.,.,D,z1(x,y),二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,z2(x,y),I=,D,这就化为一个定积分和一个二重积分的运算,z1(x,y),.,二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,三重积分化为三次积分的过程：,得到,注意,得到,解,于是，,得到,解,于是，,解,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域,例.,.,D,6,2,4,D,.,1,4,x+y=4,.,例,1,4,x+y=4,1,.,取第一卦限部分,4,x+y=4,.,D,.,.,o,1,1,x+y=1,1,z=xy,.例,例.,1,x+y=1,1,z=xy,.,例,1,1,x+y=1,。,。,z=xy,.,例,c1,c2,z,Dz,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,I=,.,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,I=,2.截面法（先二后一法）,(1)把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投影区间c1,c2,(2)对用过轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;,截面法的一般步骤：,b,c,例计算,a,D0,Dz,.,.,b,c,.,.,D0,a,.,z,M(r,z),z,r,N,x,y,z,(x,y,z),(r,z),三、柱面坐标下三重积分的计算,.,.,1、柱面坐标,简单地说，柱面坐标就是,xoy面上的极坐标+z坐标,柱面坐标与直角坐标的关系为,z,动点M(r,z),柱面S,r=常数：,平面,z=常数：,M,r,S,z,2.柱面坐标的坐标面,动点M(r,z),半平面P,柱面S,=常数:,r=常数：,平面,z=常数：,z,M,r,S,P,.,2.柱面坐标的坐标面,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z及z+dz；,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,.,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,dV=,.,.,dV,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据V中z，r，的关系，化为三次积分。,一般，先对z积分，再对r，最后对积分。,例利用柱面坐标计算三重积分,其中V,解,(1)画V图,(2)确定z，r，的上下限,将V向xoy面投影，得,或,过(r,)D做平行于z轴的直线，得,即,过(r,)D做平行于z轴的直线，得,于是，,解,求交线：,将向xoy面投影，得,或,即,过(r,)D做平行于z轴的直线，得,或,例计算三重积分,其中是由曲,解,将向xoy面投影，得,或,过(r,)D做平行于z轴的直线，得,即,或,过(r,)D做平行于z轴的直线，得,即,1,.,Dxy:,z=0,.,Dxy,例.计算,I=,1,M(r,),r,N,y,x,z,.,.,四、球面坐标系下三重积分的计算,规定：,1、球面坐标,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),2、球面坐标的坐标面,C,r=常数:,=常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,.,2、球面坐标的坐标面,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+dr,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,.,r2,sindrdd,sindrdd,r2,dV,dV=,3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据再中r，的关系，化为三次积分。,一般，先对r积分，再对，最后对积分。,例用球面坐标计算,其中,解,画图。,确定r，的上下限。,(1)将向xoy面投影，得,射线，得,