等腰三角形的判定与反证法

,1.1等腰三角形,第一章三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,北师大版八年级数学下册,第3课时等腰三角形的判定与反证法,1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点）2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点）,学习目标,复习引入,导入新课,问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？,等腰三角形的两底角相等(简写成等边对等角”),等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成三线合一”),问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？,题设：一个三角形是等腰三角形,结论：相等的两边所对应的角相等,思考：如图，在ABC中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？,我测量后发现AB与AC相等.,3cm,3cm,讲授新课,A,B,C,如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？,互动探究,已知：如图，在ABC中,B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?,建立数学模型：,做一做：画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？,AB=AC,你能验证你的结论吗？,在ABD与ACD中，,1=2，,ABDACD（AAS）.,B=C，,AD=AD，,AB=AC.,过A作AD平分BAC交BC于点D.,证明：,结论验证：,有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).,等腰三角形的判定定理：,应用格式：,AB=AC(等角对等边).,A,C,B,总结归纳,作用：证明同一个三角形中边相等，证明三角形是等腰三角形。,（等角对等边）.,（等角对等边）.,错，因为都不是在同一个三角形中.,辨一辨：如图,下列推理正确吗?,例1已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：AED是等腰三角形.,证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等）,AE=DE(等角对等边）,AED是等腰三角形.,典例精析,例2已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.,证明AB=AC，,B=C.,又DEBC，,ADE=B，AED=C.,ADE=AED.,ADE为等腰三角形.,练习1：已知：如图，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求证：AB=AC,随堂练习,想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?,在ABC中,如果BC,那么ABAC.,如图,在ABC中,已知BC,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.,假设AB=AC,那么根据“等角对等边”定理可得B=C,但已知条件是BC.“B=C”与“BC”相矛盾，因此ABAC.,小明是这样想的:,你能理解他的推理过程吗?,在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法,总结归纳,用反证法证题的一般步骤,1.假设:先假设命题的结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,反证法的步骤:,证明：假设，于是，这与相矛盾，因此“”的假设不成立。所以，,例3用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：ABC求证：A,B,C中不能有两个角是直角,【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A,B,C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A,B,C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾,典例精析,证明：假设A,B,C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角,例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.,当堂练习,72,36,如果AD=4cm，则,1.已知:如图,A=36，,DBC=36，C=72,1=,2=；,图中有个等腰三角形；,BC=cm；,72,36,3,4,5,2.已知：等腰三角形ABC的底角ABC和ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形.,ABD=DBC=，ACE=ECB=.,DBC=ECB，,OBC是等腰三角形.,又ABC是等腰三角形，,ABC=ACB，,3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,l1,l2,l3,P,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,假设不成立,l3与l2不相交,l3l2,l1l2,活动与探究,1.如图，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，设AB=12，AC=18，求AMN的周长.,分析：要求AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到AMN的周长需转化成与AB、AC