天津大学《概率论与数理统计》cha

第五章大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？,为何能以样本均值作为总体期望的估计？,为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础是什么？,大数定律,中心极限定理,设非负随机变量X的期望E(X)存在，则对于任意实数0,证仅证连续型随机变量的情形,5.1大数定律,5.1,设随机变量X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数0,设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数0,切贝雪夫(Chebyshev)不等式,或,当2D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.,解设X表示6000粒种子中的良种数,XB(6000,1/6),例1,实际精确计算,用Poisson分布近似计算,取=1000,例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计,n多大时,才能在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.740.76之间的概率大于0.90?,解设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数,则,XB(n,0.75),例2,即,即,由Chebyshev不等式，=0.01n,故,令,解得,大数定律,贝努里（Bernoulli）大数定律,设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是每次试验中A发生的概率,则,有,或,大数定律,证引入随机变量序列Xk,设,则,相互独立，,记,由Chebyshev不等式,故,在概率的统计定义中,事件A发生的频率,“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：,小概率事件,因而在n足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.,贝努里(Bernoulli)大数定律的意义,伯努里大数定律说明：,A发生的频率与概率p有较大偏差的可能性愈来愈小，但这并不意味着较大偏差永远不可能发生了，只是说小偏差发生的概率大，而大偏差发生的概率小，小到可以忽略不不计。,定义,a是一常数，,(或,故,如,意思是:当,a,而,意思是:,时,Xn落在,内的概率越来越大.,当,在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互独立的服从(0,1)分布的随机变量序列Xk的算术平均值,Yn依概率收敛于其数学期望p.,结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列,Chebyshev大数定律,(指任意给定n1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差,或,如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。,定理的意义,当n足够大时,算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值