数值计算方法( 三次样条插值)

4.4 三次样条插值,前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。,4.4.1 分段插值,分段线性插值,分段线性插值,分段线性插值,缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在,分段三次Hermite插值,上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。,分段三次Hermite插值,分段三次Hermite插值算法,例题,例题,4.4.2 三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,例题,例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件,解 做差商表(P111),由于是等距离节点,由第二类边界条件得,解方程得将Mi代入式4.4.14)得,由于,故,45 曲线拟合的最小二乘法,插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.,4.5.1 最佳平方逼近,定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:,容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.,内积的性质,函数的欧几里得范数,定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.,函数的欧几里得范数性质,线性相关的函数系,定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使,成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.,线性相关的函数系的判定,定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式,不难证明 在R上线性无关.定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .,最佳平方逼近,定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足,则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.,令 则误差为,特例,取则法方程为其中,例题,例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.解 设 由于,故法方程为解得,平方误差为,4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法,曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.,在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.,设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令,记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即,达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有,用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为,其中,由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式,故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为,特例,例题,例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.,解 由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为,平方误差为,例4.5.3 地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高,解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1 (P119),从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数,将上式改写成,记 则有这是已知数据相应地变为如下表所示,由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:,相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求,以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年),4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解,设矛盾方程组这里mn,记,则上式可简记为Ax=b.矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足,引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.,定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,