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文档简介

-,1,第四节满秩分解,本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题.,主要内容：1矩阵的Hermite标准型2利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解,-,2,满秩分解定理,为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法，先介绍Hermite标准形（或行最简形）。,（1）式称为矩阵A的满秩分解.,说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称此满秩分解为平凡分解。,-,3,定义矩阵的Hermite标准形H为,1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非零元为1，而后m-r行全为0；2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki（i=1,2,r)列,则有k1k2kr;3)k1,k2,kr列为单位矩阵Im的前r列.,即有：,-,4,定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换化为Hermite标准形H，且H的前r行线性无关。采用矩阵的说法就是，存在,使得,-,5,例1化矩阵A为Hermite标准形,-,6,-,7,满秩分解定理：设,且A的Hermite标准形H为,则取A的第列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵,C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解,-,8,1）求矩阵A的Hermite标准形H；2）取矩阵C为H的前r个非0行；3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列；则A=BC,满秩分解的步骤,-,9,例：求矩阵,的满秩分解,首先利用行初等变换求A的Hermite标准形H：,-,10,可见,故A的满秩分解为,-,11,设,则,注2、矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的分解：A=BC，乘积保持不变。,注1、矩阵A的满秩分解是不唯一的,-,12,第五节QR分解,QR分解也称为正交三角分解,矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。,主要内容：1矩阵的QR分解-Schmidt正交化方法2矩阵的QR分解-Householder变换、Givens变换（略）,-,13,QR分解定理,任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A=QR，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。,由于x1,x2,xn线性无关，将它们用Schmidt正交,证明,设A是一个实满秩矩阵,A的n个列向量为x1,x2,xn,定义:设,如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵,R，使得,则称之为A的QR分解或酉三角分解,当时，则称为A的正交三角分解,化方法得标准正交向量e1,e2,en,-,14,其中,从而有,-,15,唯一性略,说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵QR分解的方法。,-,16,例1：利用Schmidt正交化方法求矩
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