结构优化设计的准则法.ppt

结构优化设计的准则法,第2章结构优化设计的准则法,最优化方法是最先发展起来的一种结构优化设计方法，从上一世纪50年代开始应用于工程结构设计。,准则优化法的基本概念：从结构力学原理出发，规定一些优化必须满足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设计的迭代公式的方法。,满应力准则法、齿形法、能量准则法等优点：收敛速度快，与优化问题的规模关系不大,重分析次数与设计变量数目没有直接关系缺点：有局限性，适用于结构布局及几何形状已定的情况，设计是接近最优。,2-1结构优化设计的满应力准则法,1.满应力设计基本思想从结构力学的原理出发，以满应力为其准则，使杆件的材料能够得到充分利用的一种方法。其设计思想就是对一个既定的结构布局，通过调整构件的断面尺寸，使各构件承受荷载的能力得以充分发挥。具体地，对布局已定的结构在多种荷载作用下，使结构的每个构件至少在一种荷载情况下的应力达到容许应力，此时就认为结构重量是最轻的。,满应力设计地解法不是按事后的结果来判断是否达到最优，而是先行确定所谓优的准则，严格来讲，它并不是最优设计。一般来说，只有静定结构在单一荷载作用下，满应力设计才可能是最轻设计（由于静定结构的的特点决定）；而超静定结构的情况就完全不同了，由于超静定结构各构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调整截面后，将产生内力重分布。近似解。,2.满应力准则法中一些概念1）满应力结构元件的应力达到容许应力或临界应力。2）工况结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为一种工况。3）应力比元件的工作应力与容许应力之比。,3.满应力计算（应力比法）下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法。,设桁架是由n个杆件组成的，受到L种工况的荷载作用：设第i杆在第j工况下的内力为Nij(i=1,2,，n;j=1,2,l),第i杆在各种工况下的最大内力为Nimax，最小重量设计可归结为：求设计变量使桁架重量最小,1）假设桁架各杆初始截面积为：,2）进行结构分析，计算各杆轴力，得到应力矩阵。,式中：为在第j种工况的作用下，第i根杆件的轴力。进而求得各杆应力：,3）计算应力比矩阵,式中：为在第j种工况的作用下，第i根杆件的应力比。,我们来分析应力比取值情况：,说明此杆的应力大于许用应力，需要增加此杆的截面积；,说明此杆的应力小于许用应力，需要减小此杆的截面积；可见可以选择作为调整各杆截面积的依据。,4）形成应力比列阵,5）调整方案及收敛判别,若否则,6）把调整方案作为初始方案重新迭代。转2）继续迭代。,图中是事先指定的小正数。,对于静定桁架，各杆的内力与杆件的截面积无关，因此，上面的迭代公式只要一次迭代。对于超静定结构，是一个重复迭代的过程。,1.静定结构,例1.1以5杆桁架为例。外力许用拉应力许用压应力杆断面最小尺寸求各截面最小尺寸并使结构最轻,首先假定一个初始设计（静定结构可以不必这样做，但为了和静不定结构设计统一，假定初始断面面积为1），设初始向量为：,根据平衡条件，求出各杆内力：,计算应力比需根据计算的应力为拉应力或压应力取相应的许用应力。和两者符号要一致，可取绝对值进行计算。,修正初始设计向量其中第三元件的断面面积按计算为0，小于规定的最小尺寸，因此应取。,对于静定结构，由于其内力不随元件断面尺寸的改变而改变，故只需进行一次修正设计，各元件的工作应力便都达到许用应力值，或元件的尺寸取为规定的最小尺寸。各杆的断面尺寸不能取得比上述尺寸小，否则将不满足强度要求或几何约束条件。因此，满应力设计对静定结构而言，就是最轻质量设计。,4.超静定结构,例1.2：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况：（1）（2）,解：1）分析由于对称性及工况的对称，优化结果显然；2）结构重量作为目标函数；,结构分析：,应力比矩阵：,初始方案为：,3）迭代计算,收敛判别迭代计算,满足精度要求的设计：,如果继续一直迭代下去：可见退化为静定结构。,本题的数学模型：,我们可以利用图解法求解：,这是一族平行线，其斜率：,第1个约束方程的约束界面：,其斜率：,求（a）、(b)方程组：,通过以上例子，我们可以发现：1）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构；2）单工况满应力解不唯一；3）满应力解不是最优解，只有近似解。,例1.3同样考虑上述例子，结构布局、外载方向也相同，但数值改为，此时需取、3个设计变量。,对应于外载P1情况的应力为,对应于外载P2情况的应力为,代入具体数据后，可写出不等式约束条件为,前3式对应于外载P1，后3式对应P2,通过对于主动约束与被动约束的分析可知当时，约束为：,当时,目标函数为,各元件应力比,满应力设计方法中的几个问题,1）是否就是最轻质量设计满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何直接的联系。因此，对于一个满应力设计，其约束方程必须全部满足。对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然是收敛的，而且满应力设计就是最轻设计。可以看出，n个约束条件都是等式，可以唯一决定n个变量Aj,因而这时Aj实际上和最小重量并无数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使结构质量最轻。除非将其约束方程变为不等式和使f(A)为最小，联系起来求解Aj,才能保证结构重量为最轻。这就是数学规划的设计。,所以除静定结构外，满应力设计并不一定具有最小重量的。就其几何意义来说，每一约束方程就相当于n维空间的一个超曲面，所以满应力设计点就落在n个超曲面的交点上。2)收敛性对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然是收敛的。对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没有几何约束要求，那么利用满应力设计时，结构可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就不是唯一的。这就引起人们对满应力设计收敛性的疑问。,从实用上看，如果在开始几次设计迭代中就收敛较快，那么它一般会收敛到某个确定的点上去。如果一开始就收敛的慢或反复无常，那就可能是不收敛的。对于这种情况，可以考虑改变起始设计点而重新进行设计。为了避免过多的迭代次数以节省计算时间，一个方法是对收敛条件中规定的设计允许误差值不要取得过小，或者可以采用把满应力设计方法与射线调参方法结合的措施。,为了加快迭代，我们引入松弛因子：,松弛因子初始时取1.05至1.1，逐步减少到1。,尽管满应力设计存在着上述一些问题，但是它的若干显著特点，使得这个方法还很重要。具体有：a)从前面讨论可以看出，在一定条件下满应力设计可以是最轻设计。b)虽然不同初始点的满应力设计经常会收敛到不同的结果，其中重要的差异可能很大。但是对于大多数实际结构来说，其差异是很小的，有的甚至很接近于最优解。C)为达到收敛所需要的，迭代数往往很小，加上当前进行几万阶矩阵分析已不成问题，因此满应力设计受问题规模影响很小，是目前进行大型结构最轻设计的有效而又经济手法。d)满应力设计通常是近优设计，因此可以为数学规划法进行优化设计提供所需的较理想的初始点，以节省时间。,2-2齿形法,满应力法唯一的准则是各杆应力比为1，最后的迭代点是在约束条件交点上取得的！但是实际的最优点是位于起作用约束的界面上的。为了设法使搜索点落到约束的界面上，引出了齿形法可以使迭代点在约束界面上。,最优解,满应力解,从概念上讲满应力法，有一缺点，即它与质量目标函数无直接关系，而齿形法则把满应力法与质量的大小联系起来，通过交替进行满应力步与射线步来达到寻求最优解的目的。1.齿形法的概念1）一次迭代过程结构优化的过程是由最小循环重复迭代完成的，我们称这个最小循环为一次迭代过程。完成一次迭代过程得到的点才能作为原问题的最优点近似。,2）齿形法思路由于满应力法收敛到非最优点，为了改变这一结果，在满应力迭代过程后增加一种移动，我们称为射线步，构成一次迭代过程。实际上一次迭代过程包含两种移动：满应力步；射线步。齿行法的特点是每进行一次满应力步之后进行一次射线步。即从坐标原点出发经过满应力步的设计点，沿此射线方向回到约束曲线上。由于移动的轨迹类似于齿形。故称齿形法，所以齿行法与满应力法的主要区别只是偶数步在确定新的截面面积时有所不同而巳。,齿形法迭代过程图解,2.满应力步：从初始点到满应力设计点的移动。,3.射线步：使迭代点沿坐标原点与满应力设计点连线的方向回到主约束曲面的移动。,满应力步,射线步,4.如何实现射线步从满应力步所得到各杆应力比列阵中，选择最大的作为射线步的变更依据：,其中：,5.射线步有下述3个特点：,1)在走射线步时，由于各元件变量都乘同一常数（用表示之，），故元件内力不变，而应力则为原应力的倍。证明：结构位移与载荷之间的关系有：在由k点到（k+1）点时，各元件面积都同乘一常数，故两刚度矩阵间有下述关系：因此，可得,在（k+1）点有其物理意义为若各元件面积增至倍，则位移减少至倍。,再列出元件内力与位移的关系式其物理意义为各元件内力不变。其物理意义为若各元件面积增至倍，则应力减少至倍。,2）当时，这一步所走至2k点恰好位于主动约束边界上。令i元件为此时的主动约束，则有3）由于各元件截面积同乘常数，则有关系式或,上式物理意义为必在沿空间上的射线方向（即通过原点与点连线），故我们称之为射线步（也有称作比例步，因乘同一比例常数），如下图所示。此时有,射线步满应力法,每步移动都需要计算应力比列阵，偶数步移动是由有限元获得；奇数步是通过上述公式获得。这样就减少了有限元分析次数。,5.齿行法的计算步骤,1)奇数步：选择初始截面A，利用式计算应力比列阵。2)偶数步：选出奇数步中应力比的最大值，利用式确定各杆截面积，计算结构重量，然后利用式求各杆的应力比。3)收敛判别：若则作为设计点，否则转1）继续迭代。,例2-1三杆桁架如例2-1,解：1）由例2-1：,2）满应力步，由上式代入初始截面积A=1,1计算应力比,3）射线步，计算最大应力比，各杆截面积以及新的应力比，计算结构重量,4）重新迭代,齿形法设计点为第4步得到的结果。,6.修改的齿行法齿行法避免了收敛到非最优点,但是由于精度无法控制,影响了其应用。由于射线步步距取决于满应力步，因此为了提高计算精度，应当修改满应力步的步距。,其中：为步长修改因子，的取值取决于对最优解要求的精度，取值越小，精度越高，但需迭代的次数也就越多，通常取0.5，即当时，步长为零；当时，步长为原步长。,例2-2用齿形法计算三杆桁架（例2-2）。,解：初始点同例2-2，进行结构分析：,修正的齿形法设计点为第8步得到的结果。,修正的齿形法迭代过程,第8步得到的是最后结果。,齿形法a)迭代算法本质不变，为应力比列因子迭代。b)迭代过程的每一步考虑是否满足约束条件。c)用目标函数值检验最优性，判断是否停止迭代，是较严格的（有数学基础的）优化方法，目标函数是导出迭代方向的重要因素，即目标函数既是构造优化算法的一部分，又是判断最优性的条件之一。有满应力设计法相比较，有一定的改善，但在迭代算法的没有质的差别。,我们前面讨论了满应力设计，考虑了应力约束和几何约束（设计变量非负）。也就是考虑了强度条件，对于结构设计还需要考虑其它条件，例如刚度条件。由满应力设计的思想，提出了满位移设计。,2-3桁架的满位移设计,1.满位移的概念结构位移控制点位移达到容许的最大值时，我们称为满位移。2.满位移准则在满应力约束的优化基础上，达到满位移的结构设计认为是最轻的结构。3.满位移获得有两种情况：1）经满应力设计或者其它优化设计之后，满位移自然满足；2）经满应力设计或者其它优化设计之后，没有达到满位移设计，还需要经过改进设计。,分部优化与整体优化主要取决于约束条件的性质（1）局部性约束：只涉及结构的各个部分。如截面尺寸约束、应力约束、局部稳定约束、局部相对变形约束等。（2）整体性约束：牵涉到整体结构。如结点位移约束、结构整体稳定性约束、频率约束。只考虑局部约束的问题可用分部优化求解需要考虑全局约束的问题需要进行整体优化,满应力设计是一种分部优化设计，各杆件应力约束之间的相互影响比较弱各杆的刚度对于桁架结构节点位移都有不可忽略的影响，位移约束不能采用分部优化满位移设计是在满应力设计的基础上，通过调整主动杆件的截面积，使位移约束达到满位移的一种整体优化策略如果满应力设计的优化结果满足位移约束，则无需再进行满位移设计。,满位移设计的基本问题,主动杆件与被动杆件的划分凡在当前满位移设计中，截面不作调整的杆件称为被动杆件；截面要作调整的杆件称为主动杆件。主动杆件面积的确定如何调整主动杆件的面积，使得满足满位移条件，同时又使结构最轻。,被动杆件的确定设桁架在荷载的作用下各杆轴力为：,为了用虚功原理求解桁架控制点位移，虚设相应单位荷载。设由此引起的各杆轴力为：,由虚功原理：,(1),1）对于静定结构，轴力与截面积无关：,(2),由(2)式可知：如果即此杆的实虚轴力异号时，截面积增加，位移也增加，这个杆为被动杆,如果即某杆的实虚轴力同号时，截面积增加，位移减小，这个杆为可能是主动杆，也可能是被动杆，受满应力设计限制。,2）对于超静定结构，上述结论仍然成立。,由(1)式：,(3),其中，和为第i杆实和虚轴力对第j主动杆件截面积改变的变化量。它们各自是平衡力系:,平衡力系,平衡力系,如图例子：设为平衡力系，由于第3杆截面积增加单位面积，考虑结点B，下面力系是平衡的：,进而也是平衡的：,同理也是平衡的：,为外载荷和虚单位力作用下的各杆变形，由虚功原理知：,(4),(3)与(2)完全相同。,主动杆件截面积的确定划分了主动杆件被动杆件后，如何调整主动杆的截面积使得结构达到满位移呢？假设前k个杆件是被动杆，上述问题是一个优化问题：,求使满足其中：为被动杆总重量；为被动杆对位移的影响量。,(5),(5)可以应用拉格朗日乘子法求解。,引入拉格朗日函数：,由,(6),(7),考虑式（4）,(8),(9),又由,(10),将（9）式代入上式，得：,(11),将（11）式代入（9）式，得：,(12),如果桁架材料相同，则上式变为：,(13),这就是单功况单位移控制点的满位移法求主动杆件的公式。,6.桁架满位移设计的计算步骤:1）确定初始方案，选取满应力设计作为初始方案：,2）进行结构分析，求结构在荷载和虚设荷载作用下的轴力，按其乘积为正号的杆件为主动杆件。,3）按式（12）或（13）求满位移下主动杆件的优化截面积：,4）从新确定被动杆件：,5）终止判别：,例2-4如图桁架，控制点C的容许竖向位移，许用应力及，最小尺寸限，求桁架的满位移设计。,解：1.满应力设计求初始方案。由于此结构是静定的，可以通过一次迭代求得，各杆轴力：,满应力设计：,考虑几何约束：最后结果：作为满位移设计初始点。,2.在C点虚设单位荷载如图，求得虚轴力：,由求得的各杆实、虚轴力，确定主动杆。只有第6杆为被动杆件。计算是否满足满位移要求：,可见，不满足满位移设计。,3.求满应力设计下的主动杆件截面积。,由式（13）得：,设：,4.被动杆确定，第3、4、6杆为被动杆。,重新计算,带位移约束的齿行法,基本思路,最严约束,应力约束,位移约束,使设计点落到当前最严的约束面上(同时考虑应力约束和位移约束),带位移约束的桁架结构优化模型为,其中，变量数（杆件数）；工况数；结点数；为第个结点在工况下的位移；为结点的容许位移；为面积的下限。,在处理位移约束和应力约束时，先不考虑尺寸约束，于每个迭代循环中，都在优化准则步得到新设计点后，再检验尺寸约束，当某个时，就令。,一、射线步,通过结构分析求出在各工况下的位移和应力检验所有位移约束和应力约束，求出它们与其允许最大值的比值：,应力比,位移比,找出这些比值中的最大者，记为,与其相应的约束即为当前最严的约束。,当乘以即完成了射线步，这时,并有总刚度阵,二、满应力步,若射线步把设计点拉到应力最严约束面上，则用满应力准则来修改设计变量：,式中，是控制步长的阻尼指数。,三、满位移步,若射线步把设计点拉到位移最严约束面上，则用满位移准则来修改设计变量。这一步的问题是：,这里沿最严约束搜索，只需考虑这一个位移约束，所以上式中约束取等号。,拉格朗日乘子法,满位移步公式,当满位移迭代公式中圆括号内为负值时，该式无意义，说明第杆截面不能用满位移步调整。这时该杆截面可保持不变，或根据当前最严的应力约束，用满应力准则步修改截面。,四、计算迭代程序,1、选定初始方案，进行力学分析，求出应力比和位移比：,2、射线步。取,将设计点引到最严的约束面上,按下式求应力比和位移比：,3、调整步。若最严约束是应力约束，则走满应力步，其调整截面为,式中,若最严约束是位移约束，相应地走满位移步，其调整截面为,然后检查尺寸约束，使各杆，于是,以上完成了一个循环，将所得作为下一个循环的初始点。如此反复迭代，直至射线步所得目标函数不再减小，或满足其它收敛条件为止。,2-4能量准则法,结构在荷载作用下发生变形，荷载所作的功全部转化为能量，储存在弹性体内，这种能量我们称为应变能。1.能量准则的概念结构某一部分储存的应变能的多少是衡量它参加抵抗荷载作用多少的标志，因此我们应当使材料在结构中的分布与各处的应变能成正比，以便充分发挥材料的作用。由此提出了能量准则。能量准则：使结构中单位体积的应变能达到材料容许值时，结构的重量是最轻的。,2.能量库容的概念结构的构件看成是储存应变能的仓库，这样就引出了能量库容的概念。能量库容：构件这个仓库所能存储的最大应变能。,结构优化的能量准则有可以理解为：结构各构件的应变能都等于其相应构件的能量库容时，此结构重量认为时最轻的。下面我们以桁架为例说明能量准则法。,设有N个杆件组成的桁架，第i杆的应变能：,式中：为第i根杆件的应变。每一根杆件的容许应变能为,式中：为第i根杆件的最大容许应变。,(1),(2),由于很难使各构件的应变能与它的容许应变能完全相等，故可把能量准则改为：要求各杆件应变能与其容许应变能的比值趋近于结构总应变能与容许应变能之比值，且等于一常数，即,其中,式中、分别为结构的总应变能与总容许应变能；为比例常数。,(3),将式(3)两边同乘，得,由此构造出下列迭代公式,(4),(5),在多工况作用下，采用在各中荷载工况下杆件的最大值代入，其相应的迭代公式为,(6),一般情况下，上式中，用它来控制收敛的速度，的取值大小可以根据求解时收敛的快慢来确定。开始时可取大些，在迭代过程中逐渐逼近于1。在用能量法时，以采用位移法进行结构分析较适宜，因为这样便于由位移求出各杆之应变，从而求出应变能。,3.计算步骤,（1）设定一组初始设计方案:，令；（2）结构分析：求各杆在各工况下的最大应力，计算应变能（3）修改截面：（4）终止迭代检查：,若，则输出计算结果；否则转（2）,用能量准则法优化下例,例4.1：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况：（1）（2）,这里，位移的方向规定为：x向右为正，y向上为正，由此可求得杆件伸长分别为,在外荷载作用下，三杆交点位移为,(a),(b),则杆件的应变分别为,各杆件的应变能为,(c),(d),假定材料在拉、压容许应力范围内都是线弹性的，则,各杆件的容许应变能为,(e),(f),将式(d)除以式(f),有,(g),将式(g)除以式迭代公式有,当C=1时，上式成为,可知，能量准则法的结果与满应力法的结果完全一致,框架结构的满应力设计,浮动应力指数法设经过结构分析，得到第j个单元在控制断面上的轴力为，两个方向的弯矩为和，根据平截面假设，该处应力可按下式计算：,(1),上式中为断面积，和分别是x向和y向的断面抗弯模数，三者之间存在关系：,(2),上式中为断面惯性矩，都是常数。,当结构受力后以轴向变形为主时，应以断面积作为设计变量，如果以弯矩变形为主，则应以惯性矩作为设计变量。,今设以作为设计变量，即,(3),把式(2)、(3)代入式(1)得：,(4),如果以或作为设计变量，由(2)式做一些变换，可以得到类似的公式。,满应力设计是一个迭代方法，现假设在第v次迭代中，设计变量与应力之间存在下列关系：,(5),其中为应力指数。对于只有轴力作用的桁架结构，如果以断面积作为设计变量，则，上式既是常见的应力比公式。