时域信号,复频域

第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析,4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质与定理4.3拉普拉斯反变换4.4LTI系统的拉普拉斯变换分析法4.5系统函数与复频域分析法4.6连续时间系统的模拟及信号流图4.7LTI连续系统的稳定性,4.1拉普拉斯变换,4.1.1单边拉普拉斯变换1.单边拉氏变换定义因果信号的傅氏正、反变换为,傅氏变换对于一些指数函数处理不方便,主要原因是这类函数不收敛,例如阶跃函数u(t)。为了使函数收敛，我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-t，使得f(t)e-t是一个收敛速度足够快的函数。即有f1(t)=f(t)e-t式中,e-t为收敛（衰减）因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则,(4.1-1),令+j=s，式（4.1-1）可表示为,(4.1-2),F1()的傅氏反变换为,(4.1-3),式（4.1-3）两边同乘et，et不是的函数，可放入积分号里，由此得到,(4.1-4),已知s=+j，ds=d(+j)，为常量，ds=jd，代入式（4.1-4）且积分上、下限也做相应改变，式(4.1-4)可写作,(4.1-5),因为e-t的作用，式(4.1-2)与(4.1-5)是适合指数阶函数的变换。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0，例如eatu(t)（a0）的0=a，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(c)所示。,图4.1-2收敛区示意图,当00时收敛区不包含虚轴j，函数的傅氏变换不存在；当0=0时，收敛区虽不包含虚轴j，但函数的傅氏变换存在，不过有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。,4.1.3常用函数的单边拉普拉斯变换我们通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法。1.单位阶跃函数u(t),2.t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数）,3.t的正幂函数,即,依此类推，,特别地，,.冲激函数,通常的拉氏变换的下限都采用P130表5-1,4.2拉普拉斯变换的性质与定理,1.线性若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则k1f1(t)+k2f2(t)k1F1(s)+k2F2(s)k1,k2为任意常数(4.2-1),证,线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。例如,2.时延（移位、延时）特性若f(t)u(t)F(s)，则,f(t-t0)u(t-t0)(4.2-2),证,令t-t0=x，t=x+t0，代入上式得,3.频率平移（s域）若f(t)F(s),则(4.2-4),4.尺度变换若f(t)F(s),则,其中a0,(4.2-5),证,令，代入上式得,5.时域微分若f(t)F(s)，则,(4.2-6),式中,f(0-)是f(t)在t=0-时的值。可以将式(4.2-6)推广到高阶导数,(4.2-7),式中,f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及时的值。,证,同理,令，则,依此类推，可以得到高阶导数的L变换,特别地，当f(t)为有始函数，即t0，f(t)=0时，我们有f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0则式(4.2-6)、(4.2-7)可分别化简为,(4.2-8a),(4.2-8b),式中,s为微分因子。,6.复频域微分若Lf(t)=F(s)，则,(4.2-14),证,(变换运算次序),可以推广至复频域的高阶导数,利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数,7.时域积分若f(t)u(t)F(s)，则,(4.2-9),式中,f(-1)(t)表示积分运算，,证,利用任意函数与阶跃卷积,其中,(4.2-10),(4.2-11),(4.2-12),特别的，如果f(t)为因果信号，则,特别的，如果f(t)为因果信号，则，式(4.2-9)为,(4.2-13),式中,1/s为积分因子。,8.时域卷积定理若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)，则f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)(4.2-18)证因为f1(t)、f2(t)为有始函数，所以,交换积分次序,利用延时特性,9.初值定理设有f(t)、f(t)，且Lf(t)、Lf（t)存在，则,(4.2-16),初值定理只适用f(t)在原点处没有冲激的函数。,证由时域微分性质我们有,比较等式左、右两边得,(交换积分与取极限次序),10.终值定理设有f(t)、f(t)，且Lf(t)、Lf(t)存在,则f(t)的终值,(4.2-17),终值适用的条件是sF(s)的所有极点在s平面的左半面(F(s)可有在原点处的单极点)。,证利用上面的结果,令s0,两边取极限得,4.3拉普拉斯反变换,拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。式(4.1-6)给出为,部分分式展开法,设,1.(s)=0的根是互