结 构 问 题 探 究 模 式

结构问题探究模式,本文首先简单阐述了结构问题探究模式的意义；其次，阐述了结构与问题的关系；第三，论述了该模式的一般过程；第四，注意问题；第五，案例分析；第六，后继工作；最后指出该模式在教与学中具有很好的普遍意义和概括意义，其高级阶段是将此模式养成一种习惯，形成一种素养，以便在生活、学习与工作中自觉地加以运用。,1、意义问题观念已普遍为人们所称道，然而，究竟如何有效地提出问题、解决问题呢？是否有一般规律可行？能力教育的重要性人人皆知，然而，在许多地方仍然是应试（分数）教育独占鳌头，如何将现实中的分数教育与理想中的能力教育统一起来？大而言之，教育如何更好地完成由形式观念向实质观念的转变，更重要的是如何更好地完成由观念层面向技术层面的转变，这是教育界的许多仁人志士苦苦思索的问题。本文试图作一些肤浅的论述，以求教于各位专家。,2、一般过程,结构问题探究模式的一般过程是：进入情境剖析结构广泛联想信息序化反思与拓展。进入问题情境首要的是搞清问题的当前状态和目标状态的基本含义，进而弄清问题情境的各元素，尤其是某些元素所隐含的深层含义，进入情境的一种高级状态是学习主体由问题情境提供的一系列材料或活动而产生一定的意识倾向或情感共鸣，它表示主体进入一种状态，好象是问题中的一员，参与其中；,剖析问题结构就是在充分理解问题情境的基础上，对问题作深层次的探究工作，主要是探究问题系统中各元素及其相互关系，如元素之间的组织形式、结合方式和排列顺序，更要分清问题系统中的主要结构与次要结构、核心结构与非核心结构，同时要搞清主要结构、核心结构的本质意义与功能，其旨在搞清问题的内部物质即内部规律；联想在问题解决中起着重要作用，它主要是寻找事物之间的有机联系，这里主要指问题系统的外部联系，如学科的标准原理，已解决过的一些重要问题，包括该问题解决的过程、结论、方式、方法等，联想的基本方向：,一是横向联想（联想的广泛性），其基本策略是主要联想与问题系统中各元素或各子结构有关联的事项，二是纵向联想（联想的深刻性），其基本策略是对问题的某些核心结构作更加深入的联想，总之，联想的本质功能是充分激活大脑中贮存的有用信息，联想愈广愈深，对问题解决就愈有利，对思维能力的培养也愈广愈深；,信息序化是指在广泛联想的基础上，寻找解决问题的突破口，将激活的信息进行深入而细致的选择、组合、加工，以去掉无用信息，提取有用信息，直至问题圆满解决；反思解决问题的过程，总结成功经验与不足之处，一则可以得到对原问题的更好解法，二则可逐步形成探究素养，对今后有效地解决问题意义重大。将探究的问题进行拓展，一则可实现探究成果的最优化与最大化，甚至创新化，二则可更好地培养学习主体的探究能力。,上述过程不是孤立的、绝缘分开的，而是一个有机的整体，有时是交错、循环进行的，它提供了探究过程的一种基本方式，它需要学习主体在探究过程中融会贯通，更需要学习主体坚忍不拔的意志和一往无前的探索精神。,3、二者之关系,3.1结构是问题的源泉之一对于一个确定的结构而言，结构既是提出问题的来源之一，也是解决问题的有效途径之一。这是由结构含义（元素及其关系、组织形式、结合方式、排列顺序）的特质决定的，研究对象（元素及其集合）的种种关系均含（隐藏）于结构之中，对结构的层层剖析，可得到许多有意义的问题及其解决途径，结构可谓问题之温床。客观上关系的强弱性、复杂性决定了提出问题和解决问题的难易程度，核心结构及其关系则决定了提出问题和解决问题的有效性。主观上，不同的个体对结构分析的视觉不同，把握程度各异，对提出问题和解决问题的途径、方式、结果也会千差万别,3.2问题形成并完善结构一定结构的形成是有其特定过程的，其间充满了许许多多复杂的问题，正是不断地提出与解决这些问题，才形成并完善了一定的结构，数集的扩充过程（解决许多问题的过程）便充分说明了数集结构的形成过程。数学史表明：许许多多的实际问题呼唤极限理论的形成，但其结构的完善却经过了漫长的岁月，是经过解决了许许多多的问题，最终完善成标准结构的，从此分析学的大厦就有了坚实的基础，这一优秀结构的形成过程也充分反映了人们，尤其是数学家们追求真理（数学真谛）的美好愿望、勃勃雄心、坚强意志与伟大智慧。任何一门学科结构的形成无不都是如此。,3.3许多结构是稳定与动态的辩证统一在一定时空条件下，结构是相对稳定的，但随着时空的变化，结构也发生相应变化。美妙绝伦的windows结构在一定时期是相对稳定的，但经过一定时期的应用后，发现了许多问题，进而解决这些问题，便完善成更加优化的新的windows结构。许多优秀的结构是经过人们许多艰苦的努力而不断优化形成的，这也是人类前进的强大动力和正确的行动方向。,4、注意问题,本模式给出了教与学的一般探究策略、过程，还须注意以下具体问题：4.1贯穿教学全过程结构、问题观念具有很普遍的意义，这是因为万事万物都有结构，都有问题需要解决，因而值得探究。但不同的事物有不同的结构，不同的结构有不同的问题，因此，其探究没有固定不变的公式可依，但也有一些规律可循。教学中要将该模式思想贯穿整个教学过程，不失时机地逐步培养这种探究意识和探究能力，这种意识与能力的培养需要一个较长时期的不懈努力的过程。,4.2注重剖析标准结构教学中要特别注意标准结构的剖析（概念及原理），因为由标准结构的运算可得到许多不同的新结构，此即标准结构的生成作用，也是解决问题之根本。如极限的定义，剖析这一标准结构，可展示并引导学生深刻领会其中蕴含着的博大精深的数学思想方法：（1）一个核心结构：距离（描述远近程度）；（2）一个重要过程：动态变化过程；（3）一个常用方法：特殊法一般法（具体抽象法）；（4）一个重要状态：临界状态；（5）一个逻辑方法：执果索因法；（6）一个几何直观：窄条；（7）一个重要基础：不等式（重点难点）；,（8）一个人文情怀：行为结果与目标的接近程度（小而言之：同学们的行为过程产生的各阶段结果与理想目标的接近程度，大而言之，人类的行为产生的结果与真理的接近程度，当然是愈近愈好，但愿是近得不能再近需要全体人们的共同努力）。几个数学符号，实现了人们几千年的梦想，更是为数学的大厦奠定了牢固的基础，但若剖析不到位，学生总感云里雾里一般。学好了极限定义，便为后继学习打下了坚实基础。,教学中更要注意核心结构的剖析，只有把握住了核心结构，才能把握问题的本质之所在，如三角形内角和定理中的核心结构就是180的角，认识到这个关键要素，整个探究过程将顺利、自然形成，在此基础之上的探究过程将会充分展示知识逻辑的自然生长过程和思维的自然发生发展过程。否则，有时将会显示出不同程度上的牵强附会。,4.3注重结构的层次性结构具有很强的层次性，它是信息序化的重要条件与有效途径，因而，教学中要根据不同结构的不同层次，结合学生的数学现实，引导出不同层级的数学问题，确定问题的呈现顺序并加以解决，问题层级的理想标准应遵循最近发展区原理。逻辑表达是数学教学的重要目标之一，教学中更要注重逻辑表达的层次性。,5、案例分析（限于篇幅，未能展示双边活动，仅重问题探究。）,在教与学中究竟如何有效地提出问题并解决问题？或者说思维究竟是如何开始的，又是如何持续进行的，再如何向纵深发展，直至问题解决的。上述模式在某种程度上作了一定的阐述，但在教与学中，要根据学生现实，将该模式综合地、能动地加以运用。下面以探究三角形内角之和为例，以展示该模式的运用过程。,（一）Q1、什么叫三角形？（并随意画一些三角形。）Q2、三角形的基本元素有哪些？（顶点、边、角。）Q3、请观察这些三角形，并思考用什么方法来研究它们的内角之和？（量；拼。）（评：进入情境，认识元素及其关系。）Q4、你怎么想到量的呢？你认为这种方法的优缺点是什么？（从数的角度，先量出每个角，再求其和嘛，只是测量的误差不易处理，然而这不失为一种好办法，因为量，符合人们的认识规律嘛。其实数学的最初发展就是从量长度、面积等开始的，后来又量角。测量学可谓数学发展的源泉之一，大家有兴趣可专门研究。）,Q5、你怎么想到拼的？如何拼？有多少种拼法？从形的角度，拼图有许多方法，但考虑到求三内角之和（和的结构），故应将三内角拼成一个角（注意顶点、边的位置）。Q6、观察所拼的图形（一个新的角），与我们所学过的哪个图形类似？（平角。）Q7、如果用上面的方法，再任意拼接一个三角形的三个内角，又有什么样的结论？由此猜想三内角和为多少？Q8、如何证明你的结论？Q9、如何用符号表示你的结论？（求证：ABC=180）Q10、你能将上面所拼的图形画出来吗，能从中得到-启示吗？（注意拼图结构的完整性、顺序性与有效性，此法余下探究过程从略。）,Q11、还有其他证法吗？比如在这个简单的等式（结构）中，你认为研究的对象有哪些？谁是更主要的对象（元素）？为什么？又怎样寻找它们之间的关系？（A、B、C三者具有等价关系，且在一定范围内任意变动，而180的角是一个定值，因而它是该等式中的核心元素。）Q12、与180的角有关的命题有哪些？（1）平角；（2）两直线平行同旁内角互补，由此而得到的证法较易，从略。Q13、那什么叫平角？其要素又有哪些？（由一点引出的两条射线所组成的图形叫平角，其要素有顶点、两边）,Q14、怎样寻找它们（、平角）的关系？你准备把平角放在什么地方？Q15、为了更容易找到它们的关系？你认为将平角放在特殊位置好，还是非特殊位置好？（当然是特殊位置好。）Q16、这里何为特殊位置？平角的要素一是顶点，二是两边，因而，其特殊性在于：一是平角顶点位置之特殊，二是边的位置之特殊，故有下面的若干特殊位置：（1）平角的顶点与三角形的一顶点重合；（2）平角的顶点在三角形的一边或其延长线上；（3）平角的边与三角形的边共线或平行，如下各图所示,Q17、给平角这个核心人物定好位后，又如何进一步得到三内角与平角的关系？如图1（最特殊），结论与证明思路已一目了然；如图2，已是平角的一部分，下面只须让余下的部分C即可，如果能把、移到CAD内就好了，请联想：谁具有移动功能呢？平行线，对！平行线这个大力士能移动角，而且是平行移动，它还能移动长度哩，这叫做平行线的度量不变性，请大家体会。Q18、那如何作平行线？（过A作AEBC）（评：已经是水到渠成。）,Q19、如果平角的顶点在三角形的一边上呢？（如图3，平角ADB，移动、，联想：移动功能平行线。）Q20、还有其他特殊位置吗？又如何证明？（在一边的延长线上，如图4，同理可证。）Q21、平角的顶点可以不在特殊处吗？如何证明？（平角的顶点也可在三角形的内部、外部，其边与三角形的一边平行，如图5，图6，同法可证）Q22、平角的顶点、边都不在特殊位置，即任作一平角可以吗？（大家都不搞特殊化。）（当然可以，如图7，证一：转化为图6的情形即可；证二：平角都相等，转化为上面任一种情况都行。）（点评：进一步揭示特殊与一般的关系，也说明了平角是该问题的关键元素之一。）,Q23、既然可以都不搞特殊化，那为何开始对特殊情况为此痴迷？再体会该问题的本质是什么？（如果一开始就思考一般情形，就不容易得到解决问题的思路，之所以对特殊化如此痴迷，是因为它确实是探究问题的一种好方法-容易得到启示-锦囊藏妙计啊！）Q24、你能把上面的过程表达清楚吗？（逻辑表达，要注意层次性，从略。）,（二）Q25、还有其他的探究方法吗？请思考确定三角形的条件是什么？（不共线三点。）Q26、分析这个条件中的-关键要素是什么？它给你什么有益的-启示？（关键要素：不共线；启示：特殊情况-共线。）Q27、具体点，由不共线到共线的这一过程是怎样形成的？（三点是在二点的基础上多一点，A、B二点确定一条直线AB，AB外的一点C可无限靠近AB，特殊情况：C在线段AB上或其延长线上，如图8；也可无限远离AB，特殊情况：C在AB的中垂线上，如图9，余下探究过程从略。）,图8,（点评：这一探究过程由剖析标准结构-确定三角形的条件而得到探求思路，再由特殊情况进一步联想相应的动态过程，几乎同时获得探究的结果及其证明方法。）,（三）创设情境：用硬纸片制作四组完全相同的5个三角形：一个直角三角形，一个等腰三角形（腰不等于底），一个等边三角形、两个非上述情况的一般三角形，把学生分成四组，要求每组将所有的三角形折成矩形（不能剪断三角形纸片，重叠部分只许重叠一次），看哪组折得最快，并回答下列问题。Q28、你认为什么样的三角形最容易折成矩形？什么样的三角形最难折成矩形？简单解释折纸的过程。（再次体会特殊与一般之关系。）,Q29、从折纸过程中，是否可得三内角和是多少？如何证明？（余下的探究过程从略）Q30、思考题：（1）不断体会、理解、运用结构原理，逐步学会深入地探究问题。（2）在上述探究过程中，运用了哪些数学思想方法。（3）将上述探究过程整理成一篇小论文。,（四）学生经过反思总结后得出了全新证法，简直就象发现了新大陆一样。（）由折纸得到的启示：先证有一个角为直角的三角形的内角和为180，如图10（1）；再证其他三角形的内角和为180，如图10（2）、（3）；综合、得证。,（）过三顶点作一边的垂线，又得一全新证法，从略。（）平角的边绕其顶点旋转，如图11，可得以上各种证法，从略。点评：学生能够从活动的过程中，把握住具有特殊结构的直角三角形，进而将一般结构的三角形转化为特殊结构的直角三角形，有些同学更是由平角绕其顶点旋转，发现垂直也是一种特殊关系，从而得到又一个全新证法，而且将特殊与一般统一于这一整体之中，简直是一些了不起的新发现-古老的数学命题，再放青春光华。,（五）简析：三角形的内角和定理在教材中的地位十分重要，它是平角、加法原理、平行线及其性质等内容的综合运用，也是后继学习多边形及解三角的重要基础，角的关系，本身就是很重要的基本量关系之一，为解三角形提供了强有力的依据和重要基础，其探究过程更是蕴含着精深的数学思想方法，如结构原理、本质、联系、观察、实验、猜想、数形结合法，特殊一般法、对称法、穷举法、动静结合法、极限思想等。,这是不可多得的培养学生思维能力的极佳内容。本例引导学生从问题情境中的基本元素、及和的结构出发，为寻找其关系而对相关结构层层剖析，并