1[1].5__充分条件与必要条件

,第一章,集合与简易逻辑,1.5充分条件与必要条件,一、四个基本概念1.若_，则称p是q的充分条件.2.若_，则称p是q的必要条件.3.若_，则称p是q的充要条件.4.若_，则称p是q的既非充分也非必要条件.,二、从集合的观点看充分条件、必要条件、充要条件记p：A，q：B.1.若满足_，则p是q的充分条件.2.若满足_，则p是q的必要条件.3.若满足_，则p是q的充要条件.4.若满足_，则p是q的既非充分也非必要条件.,三、充分条件与必要条件的关系若p是q的充分条件，则q是p的_条件；若p是q的必要条件，则q是p的_条件.盘点指南：pq;qp;pq且qp;p/q且q/p;AB;AB;AB且BA;AB，且BA;必要；充分,必要,充分,解：(1)“x=y”的充分而不必要条件是“lgx=lgy”；(2)“x2=9”是“x=-3”的必要而不充分条件；(3)因为“a=0”是“ab=0”的充分而不必要条件，所以“ab0”的必要而不充分条件是“a0”.,请从“充要条件”“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“既不充分又不必要条件”中选一个填空：(1)“x=y”的_是“lgx=lgy”；(2)“x2=9”是“x=-3”的_；(3)“ab0”的_是“a0”.,充分而不必要条件,必要而不充分条件,必要而不充分条件,对任意实数a、b、c,给出下列命题:“a=b”是“ac=bc”的充要条件;“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;“ab”是“a2b2”的充分条件;“a|b|(a-b)(a+b)0，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，错；因为a3a5，所以“a0解集相同；q：;(3)p:x2-2x-30;q:x3;(4)p:函数f(x)=x|x+a|+b为奇函数;q:a2+b2=0.,拓展变式,解：(1)因为(1，3)(-，3，所以qp，且p/q，所以p是q的必要非充分条件.(2)不等式x2+x+10与x2-x+20解集相同，但是，所以p/q；不等式x2-3x+20与-x2+3x-20中的系数满足：，但是两个不等式的解集不同，所以q/p.故p是q的既不充分又不必要条件.,(3)因为x=3，则x2-2x-3=0，反之不然，所以qp，p/q，即pq，且q/p，所以p是q的充分非必要条件.(4)若a2+b2=0，则a=b=0，此时f(x)=x|x|，从而f(-x)=-x|x|=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以qp.若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对一切xR恒成立，所以x|x+a|+b=x|x-a|-b恒成立，所以a=-a，b=-b，即a=0，b=0a2+b2=0，所以pq，所以p是q的充要条件.,2.设m0，且为常数，已知条件p:|x-2|m；条件q:|x2-4|1，若p是q的必要非充分条件，求m的取值范围.解：设集合A=x|x-2|m=x|2-mx2+m，B=x|x2-4|1=x|3x25=x|3x5或-5x-3.由题设qp，p/q,即pq且q/p，所以AB.,题型2充分条件、必要条件、充要条件的应用,因为m0，所以(2-m，2+m)()，所以解得0m-2，故实数m的取值范围是(0，-2.点评：记条件p和q结论对应的集合分别为A和B，从集合的观点判断若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.,设命题p:|4x-3|1；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.解：由|4x-3|1得-14x-31，故x1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得(x-a)(x-a-1)0，故axa+1.因为p是q的必要而不充分条件，所以p是q的充分而不必要条件，,拓展练习,即，1a，a+1，所以解得0a.故所求的实数a的取值范围是0，.,设x，yR，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy0.证明：充分性即证：xy0|x+y|=|x|+|y|，必要性即证：|x+y|=|x|+|y|xy0.(1)充分性：若xy=0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0.此时显然|x+y|=|x|+|y|.,参考题,题型充要条件的证明,若xy0，则x，y同号，当x0且y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x0且y0时，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.综上所述，xy0可知|x+y|=|x|+|y|.,(2)必要性：因为|x+y|=|x|+|y|，且x，yR，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|x|y|+y2，可得xy=|xy|，可得xy0.故|x+y|=|x|+|y|xy0.综合(1)(2)知命题成立.,1.判断p是q的什么条件时，必须正逆互推，注意特例，确保判断的准确性.如果条件p或q较为复杂，应先将条件进行等价转换，再作判断.2.充要条件的转化要依据定义进行，有时可利用集合的包含关系或数形结合帮助处理.,3.探求充要条件可以先求充分条件，再