化工数学1_习题课(2)

线性代数,化工数学,化工数学（1）,习题课（2）.,线性代数第四章小结1、向量组及其线性组合（1）定义n维向量：a=(a1,an)T；向量组：A：a1,am；线性组合：k1a1+kmam；线性表示：b=k1a1,+kmam（2）定理定理2：b1,bl能由a1,am线性表示的充分必要条件：R(A)=R(A,B)推论：a1,am与b1,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)定理3：若b1,bl能由a1,am线性表示,则R(B)R(A)。,2、向量组的线性相关性（1）线性相关、线性无关：k1a1+k1a1+kmam=0；（2）定理5：部分相关则全体相关，全体无关则部分无关；n+1个维向量必线性相关；a1,a2,am线性无关，而a1,a2,am,b线性相关，则b必能为a1,a2,am惟一线性表示。3、向量组的秩最大无关组：向量组A：a1,am中的一个部分组A0：a1,ar若满足：（i）a1,ar线性无关；（ii）向量组中任意r+1个向量都线性相关。则a1,ar为向量组A：a1,am的一个最大无关组。但不惟一。,4、线性方程组的解的结构（1）n元齐次线性方程组Ax=0设R(A)=r，则任意n-r个线性无关的解向量1,n-r均构成一个基础解系；通解形式：k11+kn-rn-r(k1,kn-r不全为0）。（2）n元非齐次线性方程组Ax=b设R(A)=r，*是Ax=b的一个解，1,n-r是对应的Ax=0的一个基础解系，则Ax=b的通解形式：=*+k11+kn-rn-r(k1,kn-r不全为0）,5、向量空间（1）向量空间：若集合V非空，且若aV，bV，R，有abV，aV，即对加法和数乘封闭，则V为向量空间。（2）向量空间的基、规范基、自然基设V为向量空间，a1,arV，且满足（i）a1,ar线性无关；（ii）V中任一向量均可由a1,ar线性表示，则称a1,ar为向量空间V的一个基，V称为r维向量空间。（3）基变换公式和坐标变换公式基变换公式：设a1,an与b1,bn为n维向量空间的两组基，且有(b1,bn)=(a1,an)P（I）（I）为由基a1,an到基b1,bn的基变换公式，P=A-1B称为过渡矩阵。,坐标变换公式：（II）(II)为由基a1,an到基b1,bn的坐标变换公式,P-1=B-1A是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式。,43已知R(a1,a2,a3)=2，R(a2,a3,a4)=3，证明（1）a1能由a2,a3线性表示；（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。证明：（1）由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关，a2,a3线性无关，R(a2,a3)=2，又由R(a1,a2,a3)=2，知R(a1,a2,a3)=R(a2,a3)=2，故a1,a2,a3线性相关，且a1可由a2,a3线性表示。,线性代数第四章例习题选解,（2）反证法，设a4可由a1,a2,a3线性表示，由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关，所以a2,a3线性无关，又由R(a1,a2,a3)=2，知a1,a2,a3线性相关，a1可由a2,a3线性表示，故而a4可由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。,410设b1=a1,b2=a1+a2,br=a1+ar，且a1,ar线性无关，证明向量组b1,br线性无关。证明：由已知得记B=AK，|K|=10，K可逆，A=BK-1，a1,ar与b1,br互为线性表示，即等价，R(a1,ar)=R(b1,br)，b1,br线性无关。,414设a1,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,en能由它们线性表示，证明a1,an线性无关。证明：任意n维向量组都能由e1,en线性表示，则向量组a1,an能由n维单位坐标向量线性表示，而由已知n维单位坐标向量e1,en能由a1,an线性表示，所以有R(a1,an)=R(e1,en)=n，从而，a1,an线性无关。,416设向量组a1,am线性相关且a10，证明存在某个向量ak(2km)，使ak能由a1,ak-1线性表示。证明：反证法，即不存在满足条件的向量。a1,am线性相关，有不全为零的k1,km使k1a1+kmam=0（*）成立，从am开始，am不满足条件，km=0；以此类推，得km=k2=0。（*）式变成k1a1=0a10，k1=0，即k1=k2=km=0时，（*）式方成立。而由线性相关性知a1,am线性无关，与题设矛盾，故命题成立。,417设向量组B：b1,br能由向量组A：a1,as线性表示为(b1,br)=(a1,as)K其中K为sr矩阵，A组线性无关，证明B组线性无关的充分必要条件是R(K)=r。证明：记B=AK必要性：B线性无关，则R(B)=r，而K为sr矩阵r=R(B)=R(AK)R(K)r，故R(K)=r。充分性：设R(K)=r，反证法，设B线性相关，则方程组Bx=0有非零解。将B=AK代入得AKx=A(Kx)=0，因R(A)=s，则有Kx=0，而R(K)=r，由定理知，x0，与x有非零解矛盾。b1,br线性无关。,419已知3阶矩阵A与3维向量x满足A3x=3Ax-A2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关。（1）记y=Ax,z=Ay,P=(x,y,z)，求3阶矩阵B，使AP=PB；（2）求|A|。解：（1）R(P)=R(x,Ax,A2x)=3，P可逆。故有（2）|A|=|PBP-1|=|P|B|P-1|=|B|=0。,420求下列齐次线性方程组的基础解系（3）解：（3）系数矩阵A=(n,n-1,1),R(A)=1，则基础解系含有n-1个解向量。取x1,xn-1为自由未知变量，则基础解系为,421设，求一个42矩阵B，使AB=0，且R(B)=2。解：，R(A)=2。故方程Ax=0的基础解系中的向量个数为2，设为1,2。若令B=(1,2)，则R(B)=2且满足AB=0。得,424设n阶矩阵A满足A2=A，E为单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n证明：A2=AA(A-E)=0R(A)+R(A-E)n，而R(A-E)=R(E-A)，R(A)+R(E-A)n；又有nR(A)+R(E-A)R(A+(E-A)=R(E)=nR(A)+R(A-E)=n,425设A为n阶矩阵（n2），A*为A的伴随阵，证明证明：（1）当R(A)=n时，|A*|=|A|n-1，R(A)=n|A|0|A*|0，即R(A*)=n；（2）当R(A)n-2时，Aij=0(i,j=1,2,n)，A*=0，即R(A*)=0；（3）当R(A)=n-1时，可知A至少有一个n-1阶子式不为0，故R(A*)1；又|A|=0，由AA*=|A|E=0可得R(A)+R(A*)n，R(A*)=1。,426求非齐次线性方程组的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系：（1）解：对增广矩阵B=(A,b)施以初等行变换r=R(A)=R(B)=3n=4，方程组有无穷多个解。,原方程组的同解方程组为令x3=0得原方程组的特解*=(-8,13,0,2)T；令x3=1得原方程组对应的齐次方程组的基础解系=(-1,1,1,0)T，于是原方程组的通解为,427设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且1=(2,3,4,5)T，2+3=(1,2,3,4)T求该方程组的通解。解：记4元非齐次线性方程组为Ax=b，对应的齐次线性方程组为Ax=0，R(A)=3，Ax=0的基础解系中只含一个解向量，而=21-(2+3)=(3,4,5,6)T是Ax=0的解向量，故其也是Ax=0的基础解系。所以，Ax=b的通解为,431设*是非齐方程组Ax=b的一个解，1,n-r是对应的齐方程组的一个基础解系。证明（1）*,1,n-r线性无关；（2）*,*+1,*+n-r线性无关。证明：(1)设有关系式k0*+k11+kn-rn-r=0（*）用A左乘上式两端，1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，得A(k0*+k11+kn-rn-r)=k0A*+k1A1+kn-rAn-r=k0b=0b0，k0=0，（*）式变为k11+kn-rn-r=01,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，于是k1=k2=kn-r=0由定义知*,1,n-r线性无关。,(2)设有关系式k0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)=0（*）用A左乘上式两端，1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，得0=Ak0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)=(k0+k1+kn-r)A*+k1A1+kn-rAn-r=(k0+k1+kn-r)bb0，k0+k1+kn-r=0,(*)式变为k11+kn-rn-r=01,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，于是k1=k2=kn-r=0k0+k1+kn-r=k0=0，即当仅当k0=k1=k2=kn-r=0时，（*）式成立。由定义知*,*+1,*+n-r线性无关。,434设，问V1,V2是否是向量空间？为什么？证明：（1）设，显然，且所以V1是向量空间。（2）设，显然，而所以V2不是向量空间。,线性代数第五章小结1、向量的内积、长度及正交性（1）内积与长度两向量的内积：x,y=x1y1+xnyn向量的长度：（2）正交性两向量正交：x,y=0；正交向量组；规范正交基；施密特正交化过程.正交矩阵与正交变换：称满足AAT=ATA=E的矩阵A为正交矩阵。,2、特征值与特征向量（1）特征值与特征向量设A是n阶矩阵，对满足关系式Ax=x或(A-E)x=0的数和非零向量x，称为n阶矩阵A的特征值，非零向量x为A的关于特征值的特征向量。（2）特征方程与特征多项式特征方程：特征多项式：,（3）性质性质1：n阶矩阵A与AT有相同的特征值。性质2：不同特征值的特征向量间线性无关（正交）。性质3：n阶矩阵A的特征值1,n满足：（i）a11+ann=1+n（ii）|A|=12n,3、相似矩阵及实对称矩阵的对角化（1）相似矩阵n阶矩阵A与B相似P-1AP=B；若n阶矩阵A与B相似，则特征值相同；若n阶矩阵A与对角阵=diag(1,n)相似，则1,n是A的n个特征值；n阶矩阵A能对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量；若n阶矩阵A的n个特征值互不相同，则A与对角阵=diag(1,n)相似。,（2）实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值是实数；若12，则p1,p2必正交；实对称矩阵必能对角化，即必有正交矩阵P使P-1AP=PTAP=；等价：若存在可逆矩阵P,Q使PAQ=B，则称A与B等价。相似：若存在可逆矩阵P使P-1AP=B，则称n阶矩阵A与B相似。合同：若存在可逆矩阵P使PTAP=B，则称n阶矩阵A与B合同。设为n阶矩阵的k重特征值，则对应恰有k个线性无关的特征向量；实对称矩阵的对角化步骤：先求特征值；再求对应的特征向量，并进行正交化和单位化处理；组成正交阵。,4、二次型及其标准形（1）二次型二次型：二次型的标准形：二次型的规范形：二次型的矩阵：,（2）用正交变换化二次型为标准形施密特正交化过程（3）用拉格朗日配方法化二次型为标准形注意：得到变换矩阵后，判断是否可逆。（4）正定二次型：判别定理霍尔维茨定理,线性代数第五章习题选解54设x为维列向量，xTx=1，令H=E-2xxT，证明H是对称的正交阵。证明：（1）对称性：HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2xxT=H；（2）正交性：HTH=H2=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E,55设A，B是正交阵，证明AB也是正交阵证明：ATA=E，BTB=E，(AB)T(AB)=BTATAB=BTEB=BTB=E,58设n阶矩阵A与B满足R(A)+R(B)n，证明A与B有公共的特征值，有公共的特征向量。证明：显然R(A)n，故0是A的特征值，同理，0也是B的特征值。所以A与B有公共的特征值0。A与B对应=0的公共特征向量是方程有非零解。A与B有公共的特征向量。,59设A2-3A+2E=0，证明A的特征值只能取1或2。证明：设(A)=A2-3A+2E，为A的特征值，则()为(A)的特征值，即(A)x=()x(A)=0，()=0，即必满足()=2-3+2=0，解得=1或2。,510设A为正交阵，且|A|=-1，证明=-1是A的特征值。证明：|A+E|=|A+ATA|=|(E+AT)A|=|E+AT|A|=-|A+E|A+E|=0，即=-1是A的特征值。,511设0是m阶矩阵AmnBnm特征值，证明也是n阶矩阵BA的特征值。证明：设是对应的特征向量，则AB=（*）用矩阵B左乘（*）式两端，得(BA)(B)=B(AB)=B=(B)若B=0，则由（*）式知=0，而0，故=0，与题设矛盾。因此B0，由特征值的定义知，也是n阶矩阵BA的特征值。,513已知3阶矩阵的特征值为1，2，-3，求|A*+3A+2E|。解：|A|=12(-3)=-60，则A可逆，且A*=|A|A-1=-6A-1,记(A)=A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E则()=-6-1+3+2|A*+3A+2E|=|(A)|=(1)(2)(-3)=25,522设3阶对称阵A的特征值为1=1,2=-1,3=0；对应1,2的特征向量依次为p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T，求A。解：因A对称，由定理知，必有正交阵Q=(q1,q2,q3)使QTAQ=diag(1,-1,0),其中而q3与q1,q2正交，于是q3可取方程的单位解向