《信号与系统》第八章--考研及期末考试PPT课件

-,1,第8章离散傅里叶变换8.1离散傅里叶变换(DFT)定义8.2离散傅里叶变换的性质8.3用DFT计算线性卷积8.4频域采样8.5快速傅里叶变换(FFT)8.6FFT的应用,-,2,从理论研究到工程实际,计算机可以处理的数据形式,离散,有限,：存储、运算离散,：存储空间、运算速度有限,时域对离散化后的序列截断或加窗,频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期,-,3,从理论研究到工程实际,已有的理论基础,时频域均离散,-,4,8.1离散傅里叶变换的定义,8.1.1离散傅里叶变换的定义,从离散傅里叶级数DFS到离散傅里叶变换,DFS变换对为：,由于,对k和n都是以N为周期的，所以当,也是以N为周期时。,其本身时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得到它们。,是以N为周期时，则,和,是无限长的，但在计算序列的频谱和,虽然,-,5,由于在DFS中，只用到一个周期的N个值，取它们的主值序列：x(n)(0nN-1)和X(k)(0kN-1)，等式依然成立，这就是离散傅里叶变换，即,k=0,1,N-1,n=0,1,N-1,-,6,k=0,1,N-1,DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将DFS变换对中的序列取主值，就得到了DFT，将DFT进行周期延拓就得到DFS，因此DFT隐含周期性。,DFT与DFS的关系：,有限长序列x(n)是非周期的，其频谱应该是连续的，但用DFT得到的x(n)的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x(n)延拓成周期序列而造成的。,n=0,1,N-1,8.1.2离散傅里叶变换（DFT）与离散傅里叶级数（DFS）的关系,-,7,8.1.3DFT与DTFT和ZT变换的关系,设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则x(n)的离散时间傅里叶变换为,将离散化，在02上从0开始等间隔地取N个点，即,即可得到离散傅里叶变换DFT。,对X()进行均匀采样，,1.DTFT和DFT的关系,X(k)是序列的傅立叶变换X()的在区间0,2上的N点等间隔采样，采样间隔为：N=2/N。,-,8,为求DFT的反变换，将DFT两边乘以,下面证明IDFT的唯一性,并对k从0到N-1求和，得,上式右边=Nx(n),n=0,1,N-1,-,9,2.DFT和Z变换的关系,比较z变换与DFT变换，可见当,设序列x(n)的长度为N，其z变换和DFT分别为：,时，则有,X(k)也是z变换在单位圆上的N点等间隔采样值，采样间隔为：,-,10,-,11,例求x(n)=R4(n)的DTFT及16点和32点的DFT。,解根据DTFT的定义得,其频谱为连续的，如图(b)所示,-,12,设变换区间N=16，则,，n=0,1,15,根据DFT的定义得,-,13,图6-1DFT与DTFT的关系,图6-1(c)为16点DFT的频谱（实线），是离散的，实际上是对DTFT连续频谱离散化的结果，虚线是DTFT的频谱。图6-1(d)为32点DFT的频谱（其DFT变换省略）。,-,14,解：,例,-,15,k1时，,k1时，,k7时，,k7时，,-,16,X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0,当k=7时，,当k=1时，,-,17,解：,-,18,-,19,X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0,当k=7时，,DFT一般为复数,当k=1时，,-,20,解：,例,-,21,和分别为和的N点DFT.,若和是两个有限长度序列，长度分别为和，则其线性组合,的N点DFT为,1.线性性质,8.2离散傅里叶变换的性质,-,22,当k的取值不受限制时，X(k)以N为周期。,2.DFT的隐含周期性,-,23,设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFTx(n)则DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1且X(N)=X(0),3.复共轭序列的DFT,证明：,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0),它的末点就是它的起始点。,用同样的方法可以证明DFTx*(N-n)=X*(k),-,24,4.DFT的共轭对称性,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1,DFT的对称性是关于N/2点的对称性。,注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。,有限长共轭对称序列,有限长共轭反对称序列,-,25,4.DFT的共轭对称性,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1,DFT的对称性是关于N/2点的对称性。,注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。,N/2左边,N/2右边,当N为偶数时，将上式中的n换成可得到,-,26,任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1将上式中的n换成N-n，并取复共轭，可得x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n),xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1xop(n)=-x*op(N-n),0nN-1,-,27,1)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0nN-1,其中,4.DFT的共轭对称性,-,28,2)如果x(n)=xr(n)+jxi(n),-,29,其中Xep(k)=DFTxr(n),是X(k)的共轭对称分量;Xop(k)=DFTjxi(n),是X(k)的共轭反对称分量。,-,30,证明了Xep(k)=DFTxr(n)是X(k)的共轭对称分量。,实际上,-,31,设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，对于纯实数序列，x(n)=xr(n)，X(k)只有共轭偶对称部分，即X(k)=Xep(k)，表明实数序列的DFT满足共轭对称性，故X(k)=X*(N-k)，0kN-1,DFTx(n)=DFTxr(n)=X(k)=Xep(k)=X*ep(N-k)=X*(N-k),3)实信号DFT的共轭对称性,-,32,X(k)=X*(N-k)，0kN-1，利用这一特性，只要知道一半数目的X(k)，就可得到另一半的X(k)，这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。,4)DFT的共轭对称性的意义,一次DFT变换两个实序列。,将两个实序列，构成新序列x(n)如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT，得到X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),由Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)得X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),-,33,5DFT的对偶性,设长度为N的序列的DFT为，则,-,34,对应于DTFT的平移,对应于DFT的移位,m1,m3,m2,圆周移位序列,6.DFT的圆周（循环）移位性质,-,35,循环移位示意图,右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。,-,36,-,37,时域循环移位特性,若,时域序列的圆周位移的DFT为原来的DFT乘以一个因子,则,N为偶数时,若,则,-,38,频域循环移位特性,若,则,在频域的频移l，则IDFT在时域x(n)乘以一个,若,则,-,39,若x(n)和h(n)均为N点有限长序列，且则,N点的圆周卷积,x(n)和h(n)都需是N点,定义为圆周卷积,两序列循环卷积的长度为N。,7DFT的时域离散圆周卷积定理,-,40,用DFT计算循环卷积,则由时域循环卷积定理有Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kN-1,y(n)=IDFTY(k),当L很大时,在频域计算提高了运算速度。,-,41,圆周卷积的计算特点,圆卷积只在区间内进行，圆卷积结果也为N点有限长序列。,x(m)是把x(n)变量代换后的N点序列，是把h(n)变量代换、圆反转、圆移位后，取其前N个点后的N点序列。,对每一个n点圆移位，先计算对应各个m点的乘积,，再对范围内的全部乘积求和。,每一个n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共5个步骤。以4点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：,-,42,时域圆周卷积定理,圆周卷积5个步骤的图解举例：变量代换圆反转圆移位相乘求和,例用图解法求有限长序列,的4点圆卷积。,解（1）变量代换,xn、hn的变量置换为m，有,（2）圆反转,把hm圆反转为,（3）圆移位相乘求和,-,43,时域圆周卷积定理,解（3）圆移位相乘求和,相乘,求和,圆周卷积,线性卷积,-,44,时域圆周卷积定理,求和,-,45,圆周卷积5个步骤的图解举例：变量代换圆反转圆移位相乘求和,例求有限长序列,的4点圆卷积。,解：,-,46,-,47,例用时域卷积定理求有限长序列,的4点圆卷积。,解,-,48,若则,8DFT的频域离散圆周卷积定理,-,49,实际问题多数是求解线性卷积，如信号x(n)通过系统h(n)，其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。现在我们来讨论上述x(n)与h(n)的线性卷积，如果x(n)、h(n)为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。,8.3用DFT计算线性卷积,-,50,(1)有限长序列线性卷积与循环卷积的关系,线性卷积：,循环卷积为：,8.3用DFT计算线性卷积,-,51,有限长序列x(n)为,循环卷积为：,-,52,即,-,53,如果两个序列的长度分别为N和M，线性卷积后的长度为N+M-1，因此，如果循环卷积的长度LN+M-1，那么，yl(n)周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混叠现象。只有LN+M-1时，才不会产生混叠，此即循环卷积等于线性卷积的条件。,(2)循环卷积等于线性卷积的条件,(3)用DFT计算线性卷积的方法,如果两个序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M，,取L=N+M-1作为循环卷积的长度；,在h(n)后补上L-N个零值点；,在x(n)后补上L-M个零值点。,-,54,线性卷积,上例线性卷积过程,-,55,-,56,图6-4线性卷积与循环卷积的比较(a)线性卷积(b)循环卷积,-,57,-,58,例用DFT求,的线卷积。,解,-,59,8.4频率域采样,由X(k)不失真地恢复x(n)的条件是什么？采样多少点才能由X(k)恢复x(n)?,如果其收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,0kN-1,1.由X(k)不失真地恢复x(n)的条件,xN(n)=IDFTX(k)，0nN-1,-,60,xN(n)=IDFTX(k)，0nN-1,采样点N为多少时，xN(n)=