重积分的应用PPT课件

第四节重积分的应用,第九章,一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答,1,-,一、主要内容,(一)几何应用立体体积的计算曲顶柱体的体积由二重积分的几何意义知，以曲面zf(x,y)为顶，以xOy面上的闭区域D为底的曲顶柱体的体积为Vf(x,y)d.D空间立体的体积占有空间有界域的立体的体积为Vdv.,2,-,2.曲面的面积,设光滑曲面S:zf(x,y),(x,y)Dxy,A1fx2(x,y)fy2(x,y)d,Dxy,dxdy.,A1(z)2(z)2xyDxy,即,dA1fx2(x,y)fy2(x,y)d,称为面积元素故有曲面面积公式,3,-,Dyz,1(x)2(x)2dydz.yz,A,若光滑曲面方程为yh(z,x),(z,x)Dzx,则有A1(y)2(y)2dzdx.zxDzx,类似地，若光滑曲面方程为xg(y,z),(y,z)Dyz,则有,4,-,则,xy,yFz,zFy,(x,y)D,zFx,xFz,z,dxdy.,F,Fx2Fy2Fz2,ADxy,若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)0,且Fz0,因此,5,-,(二)物理应用1.质量的计算由第一节的引例2知，占有xOy面上闭区域D，密度函数为(x,y)的平面薄板的质量为M(x,y)d.D类似地，占有空间有界域，密度函数为(x,y,z)的空间物体的质量为M(x,y,z)dv.,6,-,2.质心坐标的计算设物体占有空间域,有连续密度函数(x,y,z),则该物体的质心坐标为,(x,y,z)dxdydz,x(x,y,z)dxdydz,x.,(x,y,z)dxdydz,y(x,y,z)dxdydz,y,7,-,z(x,y,z)dxdydz,z.,(x,y,z)dxdydz当(x,y,z)常数时,可得形心坐标：,x,其中Vdxdydz为的体积.,zdxdydz,1V1V,z,ydxdydz,1V,xdxdydz,y,8,-,若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,其面密度为(x,y),则它的质心坐标为,(x,y)dxdyD,x(x,y)dxdy,M,M,xDy,M,Mx对x轴的静力矩My对y轴的静力矩,yDMx,(x,y)dxdyD,y(x,y)dxdy,9,-,D,xdxdy,1A,x,其中A为D的面积.,常数时,可得薄片的形心坐标:,D,ydxdy,1A,y,10,-,3.转动惯量的计算,IO(x2y2)(x,y)dxdy.D,x,D,y,O,(x,y),如果物体是平面薄片,面密度为,(x,y),(x,y)D,则转动惯量的表达式是二重积分:Ixy2(x,y)dxdy,DIyx2(x,y)dxdy,D,11,-,若物体占有空间区域,有连续分布的密度函数(x,y,z).,物体对z轴的转动惯量为Iz(x2y2)(x,y,z)dxdydz,对x轴的转动惯量为Ix(y2z2)(x,y,z)dxdydz,12,-,对y轴的转动惯量为,Iy(x2z2)(x,y,z)dxdydz,对原点的转动惯量为IO(x2y2z2)(x,y,z)dxdydz.,13,-,设物体占有空间区域,利用元素法,连续，求物体对位于原点的单位质量质点的引力F(Fx,Fy,Fz).,引力元素dF,在三坐标轴上的投影分别为,dv,z,y,x,rOdF,rx2y2z2G为引力常数,r3,dFyG(x,y,z)ydv,3,dv,r,(x,y,z)x,dFxG,其密度函数(x,y,z),4.引力的计算,14,-,FyG(x,y,z)ydv,r3,FzG(x,y,z)zdv.r3,r3在上积分即得各引力分量:FxG(x,y,z)xdv,r3,dFzG(x,y,z)zdv,15,-,D,r3,D,FyG(x,y)yd.r3,对xOy面上的平面薄片D,设其密度函数(x,y)连续，则它对原点处的单位质量质点的引力为F(Fx,Fyz),其中FxG(x,y)xd,rx2y2G为引力常数,16,-,用重积分解决问题的方法：用微元分析法(元素法)从重积分定义出发建立积分式解题要点：画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便,17,-,二、典型例题,解,利用对称性，只要计算第一卦限部分的体积再八倍即可.,设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为x2y2R2,x2z2R2,例1求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积.,18,-,立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶柱体.它的底为,考虑被积函数的特点，选取直角坐标计算，并适当选取积分次序,D,8,1,V8V,R,00,R2x2,R2x2dy,8dx,R,0,(R2x2)dx,8,yR2x2,R,y,O,Rx,D,D:0yR2x2,0xR,于是,R2x2,R2x2d,它的顶为柱面z,163,3,R.,19,-,故曲面在xOy面上的投影域为Dxy:x2y2a2,x2y2所截,下部分的面积.,x2y2a2,例2求曲面azx2y2被z2a,解,1a,(x2y2),z,azx2y2,2a,x,y,z,z2ax2y2,O,xy,z2ax2y2由两曲面方程消去z,得,Da,20,-,因此,Dxy,1z2z2dxdyxy,A,a,a,d,0,a2,2,0,42d,a2,y2)dxdy,14(x2,Dxy,6,2,(551)a.,采用极坐标计算,1a,(x2y2),:z,azx2y2,2a,x,y,z,z2ax2y2,O,xy,Da,21,-,例3,D,y,ydxdy,1A,3D,12sindd,d,4sin,2sin,2,薄片的质心.,0,13,sind,解,D,O,y42,x,利用对称性可知x0,而,求位于两圆2sin和4sin之间均匀,22,-,569,0,4,22sind,7,562319422,4,D,O,y,x,C2,sind,569,0,4,).,73,3故质心位于点C(0,23,-,空间物体及密度函数都关于,的密度在数值上等于该点到原点的距离的平方.,求球体的质心.,x2,例4已知球体y2z22Rz,其上任一点,由题意,密度函数(x,y,z)x2y2z2,z轴对称，所以质心坐标为,O,y,x(0，0，z).,解,z2R,24,-,3215,5,R.,(2Rcos)sind,15,5,0,2,2,z2)dv,球体的质量,(x2y2,M,(x,y,z)dv,d,2Rcos,2,0,00,2,r2r2sindr,d,z,O,y,x,2R,25,-,5,R,4,54,R).,z,z(x,y,z)dv,3,32R5从而质心为(0,0,158R6,(2Rcos)sincosd,6,32R,15,6,0,5,1,2,2,1M1M,z(xy2z2)dv,2,d,d,32R,15,2Rcos,0,2,0,0,5,2,rcosr2r2sindr,26,-,d,sind,a0,3,0,2,D,D,Ixy2dxdy,3sin2dd,4,4,a,4,1Ma2.,a2,12,半圆薄片的质量M,22,11,2.,解,建立坐标系如图,D:x2y2a2,y0.,对其直径的转动惯量.,a,a,DO,x,y,例5求半径为a的均匀半圆薄片(密度为常数),27,-,0zH.所求转动惯量即为圆柱体对于,(x,y,z)x2y2R2,高为H,求其对底的直径的转动惯量.,例6设均匀圆柱体(密度为常量)的底半径为R,解,z,Ry,x,O,如右图,圆柱体所占区域为,x轴的转动惯量Ix.,zH,28,-,RH,d,d,0,0,2,2,2,2,0,(sinz)dz,z2)dv,Ix(y2,R,H,0,3,2,3,2,0,)d,3,(Hsin,d,2,0,2,3,6,(,R)d,H,R4sin2,H4,3,4,H3R2.,HR4,29,-,x,y,O,R,例7,设有面密度为常数,半径为R的圆形薄片,Ga,dFzG2d,d,da,2,3,d,(x2y2a2),解,za,0,M,由对称性知，引力F(0,0,Fz).,x2y2R2,z0,求它对位于点M0(0,0,a)(a0)处的单位质量质点的引力.,dFd,30,-,a,R2a2,FzGa,Ga,2Ga(11).,2,0,d0,2,3,d,D(x2y2a2),232,2,Rd,(a),从而,1,a,1).,R2a2,F(0,0,Fz)(0,0,2Ga(,x,O,Ry,za,0,M,dFd,31,-,FxFy0.,3x2y2(za)22,FzGzadv,R,R,G,(za)dz,23,22,Dzxy(za)2,dxdy,解,利用对称性知引力分量,先二后一,先二后一,例8求半径R的均匀球x2y2z2R2对位于,点M0(0,0,a)(aR)的单位质量质点的引力.,x,y,z,O,aM0RDz,32,-,RR,G,(za)dz,20,23,2,R2z2,(za)2,d,d0,R,R,G,(za)dz,23,22,Dzxy(za)2,dxdy,用极坐标计算dxdy2223Dzxy(za)2,R,dz,R,(za),2G,22,11,R2aza,az,2G,R,1,2,R2aza,2,2RaR(za)d,33,-,上述结果表明:匀质球对球外一质点的引力,注,M,(0,0,G).a2,因此，所求的引力为F(0,0,Fz),R,x,y,O,zaM0,如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.,a2,GM,3,为球的质量.,3其中M4R,34,-,证明:半径R的球的体积为V4R3.,三、同步练习,1.,3求半径为a的球面与半顶为的内接锥面,2.,所围成的立体的体积.3.求曲面S1:zx2y21任一点的切平面与曲面S2:zx2y2所围立体的体积V.,35,-,与曲面y1x2和三坐标面在第一卦限内围成,4.过曲面zx2y21上点P作一切平面，使其,的柱体的体积最大，求此点的坐标及最大柱体的体积之值.,中,其侧面满足方程,5.,设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,h(t),2(x2y2),zh(t),36,-,设长度单位为厘米,时间单位为小时,若体积减少的速率与侧面积成正比(设比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?6.计算双曲抛物面zxy被柱面x2y2R2所截出的面积A.,设半径为R的球面的球心在定球面,x2y2z2a2(a0)上,问当R取什么值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？,7.,37,-,三角形均匀薄片的质心.,求由直线2xy6与两坐标轴所围的,8.,上的一个定点,设有一半径为R的球体,P0是此球的表面,9.,设球体上任一点的密度与该,点到P0的距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的重心位置.,求由曲线y2x与直线x1所围成的平面,10.,薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量,并,38,-,讨论那种情况下,转动惯量取得最大值或最小值.,11.,立体其体密度为1求绕直线l：xyz旋转的转动惯量.,设由曲面z2x2y2与zx2y2围成,设在xOy面上有一质量为M的均质半圆形,12.,薄片,占有平面区域x2y2R2,y0,过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P,OPa,求薄片对质点P的引力.,39,-,13.设有底半径为a，高为h，密度均匀的圆锥体，其质量为M，在圆锥顶点处有一单位质量的质点，求圆锥体对此质点的引力.,40,-,四、同步练习解答,1.证明:半径R的球的体积为V4R3.,证系中,:0rR,Vdv,R,drsindr,d,0,2,0,0,2,3,4R3.,3建立坐标系，使球心在原点，则在球面坐标,x,y,0,02.zR,O,41,-,所围成的立体的体积.解在球坐标系下空间立体所占,区域为,0r2acos,:0,02.则立体体积为,2.求半径为a的球面与半顶为的内接锥面,r,M,x,O,z,y,2a,42,-,3,3,cossind,16a3,0,3,4,(1cos).,4a3,2acos0,0,sind,20,d,Vdxdydz,dvr2sindddr,r,M,x,O,z,y,r2dr2a,43,-,解,曲面S1在点(x0,y0,z0)的切平面方程为,3.,求曲面S1:zx2y21任一点的切平面与,曲面S2:zx2y2所围立体的体积V.,z2x0 x2y0y1x2y2,00它与曲面zx2y2的交线在xOy面上的投影为(xx0)2(yy0)21(记所围域为D).因此,44,-,V2x0 x2y0y1x02y02x2y2dxdy,.,2,D1(xx0)2(yy0)2)dxdyD令xx0cos,yy0sin2ddD,d,d,10,3,20,45,-,与曲面y1x2和三坐标面在第一卦限内围成,4.过曲面zx2y21上点P作一切平面，使其,的柱体的体积最大，求此点的坐标及最大柱体的体积之值.解设P(x0,y0,z0)是曲面zx2y21上任一点，曲面在该点的法向量n(2x0,2y0,1).曲面zx2y21在P点处的切平面方程为2x0(xx0)2y0(yy0)(zz0)0.,46,-,由z0x02y021代入此方程,切平面方程表示为z2x0 x2y0y(1x2y2).00柱体的底为D(x,y)0y1x2,0x1切平面下的柱体的体积为,D,V(x0,y0),2x0 x2y0y(1x2y2)d.00,利用极坐标,有,47,-,求其偏导数并令其分别为零，得,32,0,0,2y0032,Vx2x00,Vy,3,得唯一驻点x0y04,1,2,0,20,0,0,2,00,y)d,sin(1x,cos2y,d2x,V(x0,y0),4,23,2,2,00,(1xy).,(x0y0),48,-,0,3,4,24,此时z0x02y021321,92V(x0,y0)8.94下面考虑V(x0,y0)在区域边界上的情形.当x00时，有,94,4y,4,23,2,0,0,0,(1y),y,V(0,y),49,-,3,V(x0,y0)2(x0y0),当x02y021时,3,x02y022x0y0,2,3,(2x022y02),2,33,当y00时，有V(x0,0)V(4,4).,V(4,4),433,48949,50,-,3,22,V(4,4),9433,8,3392,1),P(4,4,32,综上所述，可知V(x0,y0)894即为所求最大体积,即为所求切点.,51,-,中,其侧面满足方程,5.,设长度单位为厘米,时间单位为小时,若体积减少的速率与侧面积成正比(设比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?解依题意,首先应求出雪堆的体积V与侧面积S,设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,h(t),2(x2y2),zh(t),52,-,z,y,xO,雪堆是曲顶柱体，上顶曲面的方程为,h(t),2(x2y2),zh(t),.,2,h(t),(,),于是其体积,2,2,22,h(t),D(x,y)xy,h(t),2,D,2(xy2)dxdy,h(t),V,xOy面上的圆域：,令z0,可得曲顶柱体的底是,53,-,2,h(t),2,dd,h(t),h(t),h(t),22,D2,00,d2h(t),.,4,h3(t),d,D,h2(t),y2)dxdy,116(x2,雪堆的侧面积S1zx2zy2dxdyD,54,-,12,13h2(t).,1,2,h(t),2,2,2,h(t)16d,dh(t)00,10,h(t)13tC.,求导得,dt,据题意知dV0.9S,即,dh3(t)0.913h2(t)dt412dh(t)13,因此dt10,55,-,10因为雪堆全部融化之时，也就是h(t)0时,由h(0)130,得C130,故h(t)13t130.,令h(t)0,可得t100(小时),因此雪堆全部融化需100小时.,56,-,d,R0,A1zx2zy2dxdyD1x2y2dxdyD2,0,12d,3,2(1R2)321).,所截出的面积A.解曲面在xOy面上投影为D:x2y2R2,则,6.计算双曲抛物面zxy被柱面x2y2R2,57,-,),2,2,z0.,2R2,2(4a,4a,R2,xy,球面在定球面内部的那部分的面积最大？,设半径为R的球面的球心在定球面,x2y2z2a2(a0)上,问当R取什么值时,解,根据题意不妨设球面的方程为x2y2(za)2R2,两球面的交线在xOy面上的投影为,7.,58,-,它所围成的平面区域为,在定球内的部分的方程为,R2,zax2y2,2,2,22,R2,(4aR).4a2,D:xy,D,1z2z2dxdyxy,其面积S(R),R2,D,x2y2,Rdxdy.,59,-,R,R,2a,0,2d,2,2,4a2R2,R,S(R)0d,.,2,a,R3,2R,22,R),D:02,0(4a4a2,.,6Ra,利用极坐标xcos,ysin,可得R2,S(R)4,a,3R2,S(R)4R,60,-,面部分面积最大.,3,43,a)为极大值，,又S(4a)40,因此S(,3,令S(R)0,得驻点R14a,R20(舍去).,3,即为最大值.所以当R4a时,球面在定球,61,-,2,而三角形薄片的面积为A1369,故,1,D,xxd,A,2xy6,3,8.求由直线2xy6与两坐标轴所围的三角形均匀薄片的质心.,AD,y1yd.,因薄片是均匀的,故质心坐标为y,x,O,6,解,62,-,因此质心位于点(1,2).,D,y,yd,3,00,1919,62x,ydy,dx,2.,D,x,xd,3,0,0,1919,62x,xdy,dx,1,2xy6,3,x,O,y6,63,-,(R,0,0).,上的一个定点,设有一半径为R的球体,P0是此球的表面,9.,解,点到P0的距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的重心位置.,设球体上任一点的密度与该,z,O,y,记球体为,以的球心为,0 x,直角坐标系,则点P0的坐标为P,原点O,以OP0为正向x轴建立,64,-,.,222,k(xR)yzdv,设的重心位置为(x,y,z),则yz0,xk(xR)2y2z2dv,x,利用对称性知(xR)2y2z2dv(x2y2z2)dvR2dv,65,-,2,0,0,22,2,0,8,R,rr,d,d,5,4,sindrR3,32R5.,y2z2dv,15x(xR)22Rx2dv,R,23,z2)dv,(xy2,2,z,O,y,x,0,P,66,-,因此,所求的重心位置为,4,xR.,故,4,(R,0,0).,2,0,0,2,0,23,(,R,r2r2sindr,d,d,R)8,15,8R6,67,-,求由曲线y2x与直线x1所围成的平面,10.,解,1a2,yax,d,yax,平面薄片上一点(x,y)到该直线的距离为,设通过原点的任一直线为y,O,y2xx1x,薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量,并讨论那种情况下,转动惯量取得最大值或最小值.,68,-,则由转动惯量计算公式,可得,y2x,y,x,O,其中为均匀薄片的面密度.积分区域关于x轴对称，记D在x轴上方的子区域为D1:0x1,0yx.由被积函数的奇偶性知,D1x1,D,1a2,(y22axya2x2)d,D,I(a)d,2,D,yax,2,d(1a2)d,69,-,222,D1,(yax)d,21a2,I(a),222,1x,1a200dx(y,2,4(11a2).1a2157,105（1a2）2,I(a)64a.,y2x,y,x,ax)dyO,1x1,D,15,由I(a)0,可得a0,I(0)4.,70,-,7,a,又limI(a)4,因此,15,min,II(0)4,7,max,IlimI(a)4.,a,15,即平面薄片绕x轴的转动惯量最小，为4,7,绕y轴的转动惯量最大，为4.,71,-,O,x,距离的平方d2.,要求绕直线l的转动,旋转的转动惯量.,惯量必须先求得内任一点M(x,y,z)到直线l的,11.设由曲面z2x2y2与zx2y2围成立体其体密度为1求绕直线l：xyz,解,zx2y2y,z2x2y2,zMdl：xyz,M,72,-,3,1(xyz)2,其中,3,2(x2y2z2xyxzyz),所以d2x2y2z2,设OM为坐标原点到点M的向径,l,则d2OM2(PrjOM)2,PrjlOM(1x1y1z)3,z,O,x,zx2y2y,z2x2y2,Mdl：xyz,M,73,-,.,90,83,23,1,0,2,0,dd,22,(2z2)dz,(xyyzxz)dv0,故,2,2,2,2,(xyz)dv3,因此Il,Il1d2dv,由对称性知,3,2,2,22,zxyxzyz)dv.,(xy,z,O,x,zx2y2y,Mdl：xyzz2x2y2,M,74,-,R,12.,薄片,占有平面区域x2y2R2,y0,过圆心O垂直于薄片的直线上有