解析几何PPT课件

-,1,第4章解析几何（一）,4.1平面向量4.2直线与方程4.3圆的方程,-,2,4.1平面向量,飞机的位移,正步走,-,3,平面向量的概念,数学上将类似位移、速度等既有大小又有方向的量称为向量；将类似长度、质量等只有大小没有方向的量称为数量。,通常用带箭头的线段来表示向量，箭头的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小。,向量也可以用字母a、b、c等表示。,模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。长度为1个单位的向量叫做单位向量，常用i、j、k等表示。,向量的大小也称为向量的模，向量、a、的模依次记作|、|a|、|。,-,4,我们把方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。例如图中向量a、b、c是一组平行的向量，记作abc。我们规定：零向量与任何一个向量平行。,在平行向量中，大小相等、方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等记作a=b。与非零向量a大小相等且方向相反的向量叫做a的负向量。向量b是a的负向量记作ba。,平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们也将平行向量称为共线向量。,-,5,例题解析,解,例1如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量、相等的向量。,例2如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量、的负向量。,解,例3如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量、共线的非零向量。,解,与向量共线的向量有、；,与向量共线的向量有、。,单击鼠标继续,-,6,D、E、F分别是ABC中的边AB、AC、BC的中点，找出与向量相等、相反、共线的非零向量。,-,7,平面向量的加减运算,我们把位移叫做位移与的和，记作,向量加法的规律：当被加向量与加向量首尾相接时，它们的和等于被加向量的起点到加向量的终点形成的向量，即,通常，已知向量a、b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和向量，记作ab，即,这种规定向量加法的法则叫做三角形法则。,-,8,例题解析,例ABCD是平行四边形，求作。,解,因为，所以,本例中的、的和正好是以向量、为邻边的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线的两个向量和的方法叫做平行四边形法则。,单击鼠标继续,-,9,向量加法满足下列运算律：1abba2a00aa3(ab)ca(bc),-,10,一般地，我们规定：aba(b)即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。,由向量减法的定义，起点相同的两个向量和的差向量应为上述推导表明：起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减向量的终点形成的向量，即,向量的减法运算,-,11,例题解析,解,例已知平行四边形ABCD，用向量、表示、。,单击鼠标继续,-,12,1不画图，写出下列向量的和向量：2如图所示，由给定的向量a、b，分别用三角形法则和平行四边形法则求作ab。3不画图，写出下列向量的差向量：4在三角形ABC中，用向量、表示向量、。,-,13,数乘向量,车受到的拉力是FFFF,则我们把FFFF记作4F。可以看出，向量4F的方向与F的方向相同，向量4F的长度是F的长度的4倍，即|4F|4|F|,作出,-,14,一般地，任意实数与向量a的乘积a是一个向量，它的模|a|等于|a|。当0时，它的方向与a的方向相同；当0时，它的方向与a的方向相反；当0时，a0。例如，向量4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。由此可知，a与a是共线向量。对任意向量a、b，设、为实数，则有1(a)（）a2()aaa3(ab)ab,-,15,例题解析,例1计算下列各式：（1）4(ab)2(ab)2a（2）2(a2bc)(3a2bc),解,（1）4(ab)2(ab)2a4a4b2a2b2a6b,（2）2(a2bc)(3a2bc)2a4b2c3a2bca2b3c,单击鼠标继续,-,16,例2D是三角形ABC中BC边上的中点，用向量、表示向量。,解,单击鼠标继续,-,17,1计算下列各式：（1）2(a2b)(5a2b)（2）3(2ab2c)5(a2bc)2D、E是三角形ABC中AB、AC边的中点，用向量、表示向量。,-,18,平面向量的直角坐标及运算,用坐标表示起点为原点的平面向量,有一向量，起点O在坐标系的原点，终点A的坐标是（4，3）。i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则4i，3j由向量加法的平行四边形法则可知我们把有序数对（4，3）叫做向量的直角坐标，记作。,-,19,一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得axiyj我们把有序数对（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作a（x，y）,-,20,用向量的坐标进行向量的运算,在平面直角坐标系中，已知a（x1、y1）、b（x2、y2）则ab（x1iy1j）（x2iy2j）（x1x2）i（y1y2）j（x1x2，y1y2）类似可得ab（x1x2，y1y2）a（x1，y1）由此，我们得到：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。实数与向量a的积a的坐标等于乘以向量a的相应坐标。,-,21,任意向量的坐标表示,设任意向量的起点A的坐标为（x1，y1），终点B坐标为（x2，y2），则（x1，y1），（x2，y2）由于，所以的坐标为（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1）由此，我们得到：任意向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标。,-,22,例题解析,例1设a(1，2)，b(5，3)，求ab，ab，3a2b的坐标。,解,ab(1，2)(5，3)(4，5),ab(1，2)(5，3)(6，1),3a2b3(1，2)2(5，3)(3，6)(10，6)(13，0),单击鼠标继续,-,23,例2设点A(2，5)，点B(3，4)，求、的坐标。,解,的坐标是,(3，4)(2，5)(32，4(5)(5，9),因为，所以，的坐标是(5，9)。,例3已知点A(2，3)，(1，5)，求点B的坐标。,解,设点B的坐标为(xB，yB)。,因为(xB，yB)(2，3)(1，5)，所以点B的坐标为,(xB，yB)(1，5)(2，3)(1，8),单击鼠标继续,-,24,1写出下列向量的坐标表示ai2jb2i4jc3j2已知a(2，3)，b(3，4)，求：abab2a3b4a5b3已知A(3，4)、B(2，3)，求、的坐标。4已知点B(3，2)，(2，4)，求点A的坐标。,-,25,向量的数量积,由物理学知识可知，推车做的功等于力F在小推车位移方向上的分量|F|cos30与小推车移动的距离s的乘积|F|cos30|s|F|s|cos30我们把|F|s|cos30叫做向量F和s的数量积。,对任意非零向量a、b，它们的夹角为（0，），我们把|a|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a|b|cos,-,26,重要性质：1aa|a|a|cos0|a|2，即有2对于非零向量a、b，当ab时，有ab0；反之，当ab0时，则有ab。3对任意向量a、b、c和实数m，有abba（ma）bm（ab）（ac）babcb,-,27,例题解析,例已知|a|5，|b|6，a与b的夹角为60，求：ab（a2b）（a3b）,解,ab|a|b|cos60560.515,（a2b）（a3b）aaa3b2ba2b3baaab6bb|a|2ab6|b|25215662176,单击鼠标继续,-,28,在平面直角坐标系中，设非零向量a为(x1，y1)，b为(x2，y2)，在x轴上的单位向量为i，在y轴上的单位向量为j，则有|i|1，|j|1，ii1，jj1，ij0，ji0，a(x1，y1)x1iy1j，b(x2，y2)x2iy2j，所以ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2iix1y2ijy1x2jiy1y2jjx1x2|i|2y1y2|j|2x1x2y1y2即abx1x2y1y2（1）式（1）叫做平面向量的数量积公式。,推论：设a(x，y)，则a2aa=xxyy=x2+y2，所以（2）,-,29,如果向量a是用起点A(x1，y1)和终点B(x2，y2)表示的，则向量的坐标为(x2x1，y2y1)，从而点A到点B的距离为（3）式（3）可用来计算平面上任意两点之间的距离。,-,30,例题解析,例1已知a(3，2)，b(4，5)，求ab。,解,ab3(4)(2)5121022,例2已知点A(3，4)，求点A到坐标原点的距离。,解,例3已知点A(2，3)、B(3，5)，求|AB|。,解,单击鼠标继续,-,31,例4判断下列各对平面向量是否垂直。（1）a（4，2），b（1，2）（2）a（3，2），b（1，2）,解,（1）ab4(1)(2)(2)440所以，ab。,（2）ab(3)(1)223470所以，a与b不垂直。,单击鼠标继续,-,32,1已知|5，|6，与的夹角30，求。2已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为30，求ab，（ab）b，（a2b）（a4b）3已知a（2，4），b（3，3），求ab。4判断下列各对平面向量是否垂直。（1）a（6，3），b（2，4）（2）a（4，2），b（1，2）,-,33,4.2任意角的三角函数,知道一点和一个方向，就可以确定一条直线。,-,34,直线的倾斜角和斜率,直线l向上的方向和x轴的正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角。规定，当直线l和x轴平行或重合时，0。倾斜角的取值范围是0，180)。,-,35,当倾斜角90时，我们一般使用倾斜角的正切表示直线的方向，以便建立直线方程。我们把倾斜角的正切tan叫做直线l的斜率。直线l的斜率常用k表示即ktan当倾斜角90时，直线l没有斜率，而是与y轴平行或重合。此时，直线l上的横坐标都相同。,在平面直角坐标系中，如果已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，那么，M1、M2就确定了一条直线M1M2，当直线M1M2的倾斜角不等于90时，可以求出经过已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线M1M2的斜率，即k（x1x2）上式叫做斜率公式，用于已知直线上两点，求直线的斜率。,-,36,例题解析,例已知直线l经过两点M1(2，9)、M2(5，2)，求直线l的斜率k和倾斜角。,解,单击鼠标继续,-,37,已知直线l经过两点M1、M2，求直线l的斜率。（1）M1（10，8）、M2（4，4）（2）N1（4，3）、N2（1，2）,-,38,两条直线相互关系的判定,平行关系的判定,设直线l1和l2的倾斜角分别为1和2，斜率分别为k1和k2。如果l1l2，则直线l1与l2的倾斜角相等，即12。所以tan1tan2，即k1k2因此，若l1l2，则k1k2。反之，如果k1k2，且直线l1与l2不重合，则12，从而l1l2。因此，若k1k2，则l1l2。当直线l1或l2的斜率不存在（即1=2=90）且两直线不重合时，这两条直线都平行于y轴或与y轴重合，所以l1l2。,-,39,例题解析,例已知平行四边形ABCD的四个顶点分别为A（1，2），B（0，2），C（3，1）D（2，5），判断四边形ABCD是否平行四边形。,解,由斜率公式可得,AB所在直线的斜率kAB4,CD所在直线的斜率kCD4,BC所在直线的斜率kBC1,AD所在直线的斜率kAD1,因为kABkCD，kBCkAD，所以ABCD，BCAD，因此，四边形ABCD是平行四边形。,单击鼠标继续,-,40,垂直关系的判定,若l1l2，则k1k21；若k1k21，则l1l2。,设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)是直线l上不同的两个点，把向量以及与它平行的向量都称为直线l的方向向量，记作(x2x1，y2y1)。,-,41,例题解析,例已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(4，0)，C(5，5)，判断三角形ABC是否为直角三角形。,解,BC所在直线的斜率kBC5,由kABkBC1，得ABBC，即ABC90，所以三角形ABC是直角三角形。,AB所在直线的斜率,单击鼠标继续,-,42,判断下列各对直线是相互平行还是相互垂直：（1）直线l1经过点A（3，2），B（2，2）；直线l2经过点C（0，3），D（1，1）。（2）直线l1经过点A（0，1），B（2，3）；直线l2经过点C（1，3），D（2，0）。,-,43,直线的方程,点斜式直线方程,yy0k(xx0)（1）该方程是由l上一点P0(x0，y0)和l的斜率k所确定的，所以方程（1）叫做直线方程的点斜式。,-,44,例题解析,例已知一条直线l经过点P0(2，2)，倾斜角45，求这条直线l的方程。,解,由于直线l经过点P0(2，2)，所以x02，y02,又由于直线l的倾斜角45，所以ktan451,代入点斜式方程，得y21（x2）即xy40为所求直线l的方程。,单击鼠标继续,-,45,当一条直线经过点P0（x0，y0）且倾斜角为0时，斜率k0，代入点斜式方程，得yy0这是一条与x轴平行的直线。,当一条直线经过P0（x0，y0）且倾斜角90时，这条直线的斜率不存在，它与y轴平行或重合，也就是说这条直线的方程不能用点斜式表示。由于这条直线上每个点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0,-,46,斜截式直线方程,当直线l有斜率且不为0时，直线l在坐标系中同时与x轴、y轴相交。当直线l与y轴相交于B(0，b)时，则称b为直线l在y轴上的纵截距。已知直线l经过B(0，b)，斜率为k，则其点斜式方程为ybk(x0)即ykxb（2）,方程（2）是由直线l的斜率k和在y轴上的纵截距b所确定的，所以，把方程（2）叫做直线l的斜截式。,-,47,例题解析,例直线l经过P(0，2)，且斜率k为3，求直线l的方程。,解,由已知条件得b2，k3,代入斜截式方程，得y3x2即3xy20为所求直线l的方程。,单击鼠标继续,-,48,一般式直线方程,形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢？,-,49,-,50,综上所述，方程AxByC0（A、B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。我们把形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程叫做直线方程的一般式。,-,51,例题解析,例1已知直线l经过点A(4，2)，斜率为2，求直线l的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。,解,直线l经过点A(4，2)且斜率为2，则点斜式方程为y22（x4）将方程y22（x4）变形后，得斜截式方程y2x6将方程y2x6移项后，得一般式方程2xy60,单击鼠标继续,-,52,例2已知直线l的方程为x3y60，求直线l的斜率k，纵截距b。,解,将直线l的一般式方程x3y60移项后得3yx6两边同时除以3，得直线l的斜截式方程yx2从而得到直线l的斜率k，纵截距b2。,单击鼠标继续,-,53,例3判断直线2x3y10与4x6y10的位置关系。,解,显然，这两条直线的斜率一样，但直线方程并不相同，所以这两条直线相互平行。,2x3y10,4x6y10,单击鼠标继续,-,54,例4判断点（1，2）和（2，3）是否在直线4x3y100上。,解,将x=1，y2代入直线方程的左半边4x3y10，得4132100所以x=1，y2是方程4x3y100的解，即点（1，2）在这条直线上。将x=2，y3代入直线方程的左半边4x3y10，得到4233107所以x=2，y3不是方程4x3y100的解，即点（2，3）不在这条直线上。,单击鼠标继续,-,55,1判断点（，4）和是否在直线6xy20上。2已知直线l经过点A(3，2)，斜率为，求直线l的点斜式方程、截距式方程和一般式方程。3已知直线l的方程为2x5y40，求直线l的斜率k，纵截距b。,-,56,点到直线的距离,某人（点）要以最短的距离走到前方公路上，应该怎样走？,在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0）和直线l：AxByC0，过点P作直线l的垂线段，相交直线l于Q，则点P到点Q的距离PQ叫做点P到直线l的距离，记作d。,-,57,公式中A、B、C分别是直线l的方程中的系数，x0、y0是点P的坐标。,点P（x0，y0）到直线l：AxByC0的距离d可用下面的计算公式计算,-,58,例题解析,例求下列点到直线的距离：（1）P（3，2），3x4y240（2）P（3，4），2xy40,解,（1）依题意：x03，y02，A3，B4，C24，代入点到直线的距离公式，得,（2）依题意：x03，y04，A2，B1，C4，代入点到直线的距离公式，得,单击鼠标继续,-,59,求下列点到直线的距离：（1）P(4，2），4x3y30（2）P(5，4），3x4y40,-,60,4.3圆的方程,圆的定义：在平面上到某定点距离等于定长的所有点构成的图形。,-,61,圆的标准方程,设P（x，y）是圆上任意一点，根据圆的定义，点P（x，y）到圆心C（a，b）的距离等于半径r，由两点间的距离公式，得,如果圆心在坐标系原点，这时a0，b0，那么圆的标准方程就是,将上式两边平方，得,该方程就是以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，称这个方程是圆的标准方程。,-,62,例题解析,例1写出圆心为C(2，3），半径为的圆的标准方程。,解,a=3，b2，r，代入圆的标准方程中，得,例2已知圆的标准方程为(x4)2(y5)2