7 6高阶线性微分方程解析ppt课件

高阶线性微分方程,第六节,二、齐次线性微分方程解的结构,三、非齐次线性微分方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶齐次线性微分方程,二阶非齐次线性微分方程,n阶线性微分方程,问：上述解是通解吗？,定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0,的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解，其中C1、C2是任意常数,齐次线性方程解的叠加原理：,证明提示：C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2=C1y1+P(x)y1+Q(x)y1C2y2+P(x)y2+Q(x)y2000,二、二阶齐次线性微分方程的解的结构,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,问：上述解是通解吗？,函数的线性相关与线性无关：,设y1(x)，y2(x)，yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的数k1，k2，kn，使当xI时有k1y1(x)+k2y2(x)+knyn(x)0成立，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关,定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0,的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解，其中C1、C2是任意常数,齐次线性方程解的叠加原理,例如，1，cos2x，sin2x在整个数轴上是线性相关的函数1，x，x2在任何区间(a,b)内是线性无关的,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,例3验证y1=cosx与y2=sinx是方程y+y=0的线性无关解，并写出其通解,解因为y1+y1cosxcosx0，y2+y2sinxsinx0，所以y1=cosx与y2=sinx都是方程的解因为比sinxcosx不恒等于常数，所以cosx与sinx在(,)内是线性无关的因此y1=cosx与y2=sinx是方程y+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1cosxC2sinx,总之，对于两个函数，如果它们的比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关,例4验证y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解，并写出其通解,解因为(x-1)y1-xy1+y1=0-x+x0(x-1)y2-xy2+y2=(x-1)ex-xex+ex0所以y1=x与y2=ex都是方程的解因为比值exx不恒为常数，所以y1=x与y2=ex在(,)内是线性无关的因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1xC2ex,如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1C2Cn为任意常数,推论,3.二阶非齐次线性方程的解的结构:,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程,定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解,证明提示：Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x)=Y+P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y*0f(x)f(x),例如，Y=C1cosx+C2sinx是方程y+y=0的通解，y*=x2-2是y+y=x2的一个特解，因此y=C1cosx+C2sinx+x2-2是方程y+y=x2的通解,定理4(叠加原理)设非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的右端f(x)是两个函数之和y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)的是原方程的特解,定理5（补充定理）,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式,得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解