CFD2015-第4讲-差分方法2

计算流体力学讲义2015第四讲有限差分法（2）李新亮lixl；力学所主楼219；82543801,知识点：离散误差的Fourier分析;间断周围数值振荡的原因、群速度控制（GVC）；模型方程向N-S方程的推广：流通矢量分裂,1,CopyrightbyLiXinliang,课件下载：,CopyrightbyLiXinliang,2,知识回顾,1.有限差分基本原理,差商-微商,待定系数法,2.基本概念,差分格式、截断误差、精度,差分方程、修正方程,显格式、隐格式,全离散、半离散,守恒性、非守恒型,3.相容性、稳定性;Lax等价定理,CopyrightbyLiXinliang,3,知识回顾:守恒型格式,写成差量形式,习惯写法：,CopyrightbyLiXinliang,4,4.1差分格式的误差分析,概念1：精度vs.分辨率,描述网格充分密集时差分格式的误差特性,描述网格有限的情况下，差分格式的误差特性,2阶精度,误差,4阶精度,格式1,格式2,3阶精度,显然：足够小的情况下，格式1误差更小并非足够小的情况下，格式2有可能误差更小,精度特性,分辨率特性,CopyrightbyLiXinliang,5,概念2：有效网格分辨率,目的：计算差分，,Case1,Case2,网格点数增加了一倍，但问题也复杂了一倍,用同一差分格式计算，两种工况误差完全相同。,有效网格点数：一个波长里面的网格点数（PPW:PointperWavelength),有效波数,10个点,20个点,1.耗散与色散误差,6,CopyrightbyLiXinliang,精确解,1阶迎风,2阶迎风,数值实验,时间推进：3步TVD型Runge-Kutta,且时间步长足够小（误差忽略）空间离散：1阶及2阶迎风格式（20个网格点）,实验观察到的现象两类误差：振幅误差相位误差（波速误差）,的实部应当为0，虚部应当为,CopyrightbyLiXinliang,7,上述现象误差源分析,误差可忽略（高阶格式，步长充分小）,误差源,差分误差对方程（解）误差的影响,半离散分析：假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用）全离散分析：同时分析时、空离散的误差（难度大）,假设对于：,有,隐含假设:线性差分格式非线性系统作用于单波，会产生多个谐波,精确解,精确差分格式（谱方法）:,修正波数,CopyrightbyLiXinliang,8,令：,（1）式化为：,“半离散化”：空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算,如果，无误差,分析（修正波数）与误差的关系,理想情况：的误差导致解的幅值误差耗散误差的误差导致解传播速度的误差色散误差,假设对于：,有,差分误差与方程解误差的关系,反映了一个波内的点数。PPW（波内的点数）=,CopyrightbyLiXinliang,9,耗散、色散误差分别由修正波数的实部和虚部决定。,关键参数：修正波数,含义：反应波数（谱）空间内差分的误差,任意函数：,定义：,求导数，精确解,差分解,Fourier分析的任务计算出，并考差其与的逼近程度。,考察格式分辨率（resolution）的重要指标精度：反映时的情况分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能对于多尺度问题，分辨率更重要。牺牲精度，提高分辨率,优秀的差分格式，1个波长里面6个点即可,精度分辨率,CopyrightbyLiXinliang,10,如何计算修正波数？,定义：,方法1.理论计算根据差分具体表达式及定义计算,例1：,令,则：,于是：,1阶迎风,例2：,2阶迎风,CopyrightbyLiXinliang,11,方法2：数值计算,定义：,Step1）选取计算域0,2p,计算网格（例如1001）Step2）给定波数k,生成函数值Step3)调用差分子程序，得到导数值Step4)通过Fourier反变换，得到谱：,假设已有求差分的子程序（黑箱，已知是线性的）,线性黑箱,强调：研究CFD本身，不能只使用理论手段，还要用数值手段,根据修正波数的定义，有,Step5)改变k的值，重复2-5，得到对于的依赖关系。画图,非线性情况会产生高次谐波，造成step4中隐含的假设无法成立将Fourier分析手段拓展到非线性系统需要研究的课题,仅提取波数为k的波,CopyrightbyLiXinliang,12,中心差分格式的色散特性0：精确解；1：4阶普通2：6阶普通；3：4阶紧致4：6阶紧致；5：6阶超紧致,迎风差分格式的色散特性0：精确解，1：2阶迎风2：5阶迎风偏心3：3阶迎风紧致4：5阶迎风紧致,每个波长里面2个网格点，谱方法的分辨率，差分法分辨率的极限（只有无穷阶精度才能达到）,20阶超紧致格式接近谱方法,CopyrightbyLiXinliang,13,不同差分格式的色散误差曲线,结论：要求分辨率相同的情况下，采用高阶格式可放宽空间网格步长，从而减少计算量,重要方向：高分辨率差分格式,0：精确解1：2阶迎风2:3阶迎风3：3阶迎风紧致4：5阶迎风紧致,指定误差要求的情况下，不同差分格式能模拟的最大a(a越大，所需网格越少）,附录：部分差分格式,表中的迎风差分格式均针对a0,当a0时，右侧为“前”）,2）根据GVC的思想构造格式,间断前：快格式；间断后：慢格式；,格式GVC2,3）改写成为守恒型,非线性情况，通常守恒型效果更好,NND,格式GVC2a,19,CopyrightbyLiXinliang,4）a0时，同样思路构造（利用对称性，仅需把下标j+k换成j-k即可）,采用GVC2a(NND2a)格式的计算结果消除振荡,使用NND2a（守恒形式）；NND2（普通形式）及1阶迎风格式的计算结果,将j换成j+1,20,CopyrightbyLiXinliang,4.3通量分裂技术,格式F+格式F-,对流项：信息（波）从上游传至下游上游信息更重要迎风差分扩散项：信息从中心向周围扩散不区分上、下游中心差分迎风差分优点：有效利用信息传播的方向，增强稳定性,微分与差分方程的影响域,N-S方程：,单波方程：,单波方程一个波，容易判断波传播方向N-S对流项（Euler）方程组：多波问题，复杂,双曲方程组的原则特征分解，找到独立传播的波,常系数矩阵A的情况完全解耦，独立求解,变系数矩阵A的情况局部讨论,21,CopyrightbyLiXinliang,CopyrightbyLiXinliang,22,Step1针对模型方程构造差分格式,Step2将格式推广到Euler方程,方法1：流通矢量分裂(FVS),特点：对流通矢量f(U)本身进行分裂,Steger-Warming,vanLeer,Lax-Friedrichs,利用通量分裂技术，将模型方程推广到Euler(或N-S)方程,格式1,格式2,格式1,格式2,CopyrightbyLiXinliang,23,方法2：通量差分分裂（FDS）,特点：对流通矢量f的导数进行分裂,Godnov,Roe,HLL,HLLC,方法3：AUSM类方法,vanLeer分裂法+压力项单独处理,利用Riemann解,利用差分表达式，计算,求解Riemann问题，获得通量,1.Jacobian系数矩阵及其性质,重要性质,24,CopyrightbyLiXinliang,2流通矢量分裂(FVS),利用性质,=,+,优点：耗散小缺点：导数间断,方式A:,特点：不必进行矩阵运算，计算量小,Steger-Warming分裂,A:Steger-Warming分裂,25,CopyrightbyLiXinliang,Steger-Warming具体步骤（以一维为例）,已知,1）计算2）计算3）计算4）带入（1）式得到5）利用不同的迎风格式，分别计算,（1）,（后差，前差）,6）,计算,7）时间推进,26,CopyrightbyLiXinliang,二维问题的steger-Warming分裂,令：,则：,具体使用步骤，以计算为例,令计算特征值分裂特征值，计算带入左式，计算正、负流通矢量计算,计算设置，并注意,对于曲线坐标系,仅需令,三维问题同样处理二维、三维具体公式见傅德薰等计算空气动力学4.7节（158-162）书中公式有一定的排版错误，使用前务必重新仔细推导！,27,CopyrightbyLiXinliang,B:Lax-Friedrichs(L-F)分裂,特点：,正特征值负特征值,=,+,缺点：耗散偏大,局部L-F分裂，每个点上计算全局L-F分裂，全局（一维）上计算,足够大,数学性质（光滑性）最好，但耗散偏大,常数,与迎风格式结合，等价于人工粘性,例如，可取,28,CopyrightbyLiXinliang,方式很多,=,+,S-W:,L-F:,=,+,VanLeer:,=,+,29,CopyrightbyLiXinliang,分裂后失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换）,FVS分裂：优点：无需矩阵运算，计算量小缺点：分裂后改变了特征方向，耗散大,利用了性质,一般情况下：,变系数，不能与导数交换,实质：没有做到解耦；只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证f+向正向传播，f-向负向传播缺点：由于未解耦，各变量的误差会相互传递,30,CopyrightbyLiXinliang,概念澄清：流通矢量分裂本身不带来耗散，但其会影响到差分的耗散;,举例：,分裂过程,耗散,如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。,=,+,向上平移,向下平移,分裂,差分格式,耗散,分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大,精确满足，不引入误差！,如使用低精差分度格式，则对分裂形式敏感（推荐使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感（可使用逐点分裂）,31,CopyrightbyLiXinliang,3.特征重构方法,常系数方程组：,完全解耦,变系数情况局部冻结系数,在基架点上系数不变,计算：,在差分基架点上Aj不变，可按常矩阵处理,局部冻结系数,分别采用后差和前差,优点：严格保证（局部）特征方向，数值解质量好；缺点：大量矩阵运算，计算量大。,32,CopyrightbyLiXinliang,通常写成守恒型差分，计算,在基架点上系数不变,具体步骤：假设已知U，且针对模型方程（线性单波方程）已构造出差分格式,（1）,1）计算出,教材130页的公式(6.1.11-6.1.13),式中用到各变量在j+1/2的值（例如）可使用j,j+1点值的算术平均（如）或Roe平均（教材6.4节）；由计算；方法很多，例如前面介绍的或,33,CopyrightbyLiXinliang,均可,2）在网格基上计算,计算fj+1/2用到的点,注意，在该网格基上（例如k=j-1,j,j+1）保持不变,例如：,3)利用已构造好的差分格式，计算通量4）得到总通量,5）计算差分（j点处）,步骤的算法描述（注意：实际上是两重循环）doj=1,Ndok=j-1,j+1(网格基，可以是更多或更少点)enddoenddodoj=1,Nenddo,需要多次矩阵运算，计算量大守恒性好，耗散小，数值解质量好,34,CopyrightbyLiXinliang,作业题1：构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验,针对单波方程：,对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。要求：精度不限；网格基架点数不超过6个；能够分辨的波数范围尽量宽；（即kr,ki曲线近可能接近准确解）给出差分的具体表达式，画出kr,ki的曲线；说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证；,形如：,另外，进行如下数值验证：,空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。,35,CopyrightbyLiXinliang,提示：1.如不使用优化技术，则格式构造方法简单，Taylor展开后解代数方程组即可。2.建议尝试使用优化技术,例：假设格式形式如下,如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。6个未知数（a1-a6），5个方程；有1个自由参数。调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。如何调整？1)可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。2）可自动调整，设立一个优化目标函数。例如调整自由参数，使得该目标函数取最大值。思路：牺牲精度，提高分辨率,36,CopyrightbyLiXinliang,作业题2（大作业选作题）：构造更高分辨率的GVC格式,对于空间导数，构造出一种不超过6点的GVC格式。要求：a.精度不限；b.网格基架点数不超过6个；c.求解模型方程,计算结果间断尽量保持“锐利”;计算结果振荡尽量小。,振荡的定量判据：总变差（TotalVariation）：间断“锐利”的定量判据：间断区内的点数？（自行设计）,给出差分格式的表达式、色散/耗散分析（ki,kr曲线）；给出模型方程t=0.2的结果（空间100个网格点，计算域0,1，时间推进可采用3阶Runge-Kutta方法）；与精确解及