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2.8闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,一、最值定理,定义1,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、有界性定理,三、介值定理,定义2:,定理3（零点定理）,几何解释:,证,由零点定理,几何解释:,例1,证,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例2,证,由零点定理,讨论,例3,证,由零点定理,一、函数的连续性(continuity),1.变量的改变量,注意：,2.函数的改变量,3.点连续的定义,于是，可得等价定义：,即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.,4.左连续与右连续：,定理1,例1,解,从而,5.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例2,证,二、函数的间断点,间断点的分类：,例3,解,例4,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,例5,解,左、右极限均存在但不相等，,2.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.,这时也称其为振荡间断点,例8,解函数的图形如图,图2-19,定理2,例如,三、初等函数的连续性,1.连续函数的四则运算与绝对值运算,定理3严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2.反函数与复合函数的连续性,定理4,例9,定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,.初等函数的连续性,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的去心邻域内没有定义.,注意,定理5基本初等函数在其定义域内都是连续的,例10,例11,解,解,注意2.初等函数在连续点求极限可用代入法.,4.分段函数的连续性,一个分段函数，虽然在其定义域的每一个小区间上的表达式都是初等函数，但分段函数一般不是初等函数对于每一个小区间内的点，仍然可用初等函数的连续性求解，但是对于每个小
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