大数定律及应用

. . xx大学毕 业 论 文题目： 大数定律及其应用 院 部 信息科学与工程学院 专业班级 信息与计算科学1班 届 次 x 届 学生姓名 xx 学 号 xx 指导教师 xxx 二O一一 年 六 月 十 日装订线. . . 大数定律及其应用 Law of large numbers and its application专业Speciality信息与计算科学Information and Computing Science学生Undergraduatexxxx指导教师Supervisorxxxxxxx大学xx年六月xxx UniversityJune, xx摘要对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现.本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.关键词：大数定律；强大数定律；数学分析；经济.AbstractTo random phenomemon, its statisticses law just can present when a great deal of repeated test are carried on under the basic same condition. This text mainly is pass law of large numbers to talk about random phenomenons most basic quality-related contents of average result stability .Law of large numbers presents the law of probability quality when test the number of times is very big.This text firstly introduces some basics which are involved in law of large numbers in order to make it easier to understand the corresponding knowledge in this paper.Through comparison, this article analyzes some conditions of the law of large numbers, introduces several kinds of more familiar law of large numbers and strong law of large numbers,tallying up application of law of large numbers,mainly including application of law of large numbers in mathematical analysis, application of law of large numbers in production and living,application of law of large numbers in economy,such as insurance, bank management and so on.It makes mathematical theory concretely,considers some viable conclusions in concrete mathematical model.Thus we can have deeper understanding on the law of large numbers in the real life.Key words:Law of large numbers,strong law of large numbers,mathematical analysis,economy.目 录引言11大数定律21.1 大数定律的定义21.2 常用的大数定律21.2.1 伯努利大数定律21.2.2 泊松大数定律31.2.3 切比雪夫大数定律31.2.4 马尔可夫大数定律31.2.5 辛钦大数定律41.3 强大数定律41.3.1 博雷尔强大数定律51.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律51.4 几个大数定律的关系及适用场合61.4.1 各个大数定律之间的关系61.4.2 大数定律适用条件的分析71.4.3 几个大数定律的应用场合分析72大数定律的应用112.1大数定律在数学分析中的应用112.1.1 在积分方面的应用112.1.2 证明一致收敛122.1.3 在极限中的应用132.2大数定律在生产生活中的应用152.2.1 误差方面的应用152.2.2 估计数学期望和方差162.3大数定律在经济中的应用162.3.1 大数定律在保险中的应用162.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用18参考文献21致谢22Contents Introduction11 Law of large numbers21.1 Definition of law of large numbers.21.2 Common law of large numbers21.2.1 Bernoullis Law of Large Numbers.21.2.2 Poisson Law of Large Numbers.31.2.3 Chebyshev Law of Large Numbers31.2.4 Markov Law of Large Numbers.31.2.5 Khintchine Law of Large Numbers.41.3 Strong Law of Large Numbers.41.3.1 Borel Strong Law of Large Numbers.51.3.2 Kolmogorov Strong Law of Large Numbers.51.4 Relationship and occasions of several law of large numbers.61.4.1 Relationship between the various law of large numbers.61.4.2 Analysis of the conditions of the law of large number.71.4.3 Several application occations of the law of large number.72 Application of law of large numbers.112.1 Application of law of large numbers in mathematical analysis112.1.1 Application of the integral.112.2.2 Proof of uniform convergence.122.2.3 Application of limiton132.2 Law of large numbers of application in the production and living.152.2.1 Application of error152.2.2 Mathematical expectationand varianceestimation.162.3 Law of large numbers of applications in the economy.162.3.1 Application of law of large numbers in insurance.162.3.2 Application of law of large numbers in bank management.18Reference.21Acknowledgement22引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值.在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a的物品,若以 表示n次重复称量的结果,经验告诉我们,当n充分大时,它们的算术平均值与a的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位.大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.1大数定律1.1 大数定律的定义 大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性.人们在长期的实践中发现,频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性,也就是说,无论个别测量值如何,其平均结果实际上与个别测量值的特征无关,几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题.阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律.一般的大数定律都涉及一个随机变量序列,为此我们给出如下定义.定义1.1.1 设有一随机变量序列,假如对任意的,有 (1.1.1)的性质,则称该随机变量序列服从大数定律.1.2 常用的大数定律不同的大数定律的差别只是对不同的随机变量序列而言,有的是相互独立的随机变量序列,有的是相依的随机变量序列,有的是同分布的随机变量序列,有的是不同分布得随机变量序列等等.1.2.1 伯努利大数定律定理1.2.1(伯努利大数定律)设为n重伯努利试验中事件A发生的次数,p为每次试验中A出现的概率,则对任意的,有 .伯努利大数定律说明：随着n的增大,事件A发生的频率与其频率p的偏差大于预先给定的精度的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率.譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.若把这枚硬币连抛10次,则因为n较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.若把这枚硬币连抛n次,当n很大时,由切比雪夫不等式知：正面出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度（若取精度=0.01）的可能性当n=时,大偏差发生的可能性小于.当n=时,大偏差发生的可能性小于.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据.譬如要估计某种产品的不合格品率p,则可从该种产品中随机抽取n件,当n很大时,这n件产品中的不合格品的比例可作为不合格品率p的估计值.1.2.2 泊松大数定律定理1.2.2(泊松大数定律)设是相互独立的随机变量,则服从大数定律泊松大数定律是伯努利大数定律的推广,伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性：随着n的无限增大,在n次独立试验中,事件A的频率趋于稳定在各次试验中事件A出现概率的算术平均值附近.1.2.3 切比雪夫大数定律定理1.2.3 (切比雪夫大数定律)设为一列两两不相关的随机变量序列,若每个的方差存在,且有共同的上界,即,i=1,2,则服从大数定律,即对任意的,（1.1.1）式成立.注意,切比雪夫大数定律只要求互不相关,并不要求它们是同分布的.假如是独立同分布的随机变量序列,且方差有限,则必定服从大数定律.1.2.4 马尔可夫大数定律定理1.2.4 (马尔可夫大数定律) 设随机变量序列满足条件：对任意的n1,有,且 （1.3.1）则服从大数定律.马尔可夫大数定律的重要性在于：对已经没有任何同分布、独立性、不相关的假定.切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出.1.2.5 辛钦大数定律 我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即一个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个的数学期望存在,但同时要求为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例.定理1.2.5 (辛钦大数定律)设为一独立同分布的随机变量序列,若的数学期望存在,则服从大数定律,即任意的,（1.1.1）式成立.辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E（X）的近似值的方法.设想对随机变量X独立重复地观察n次,第k次观察值为,则应该是相互独立的,且它们的分布应该是与X的分布相同.所以,在E（X）存在的条件下,按照辛钦大数定律,当n足够大时,可以把平均观察值作为E（X）的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管X的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻求数学期望.事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法,譬如,用观察到的某地区5000个人的寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的,这样做法的依据就是辛钦大数定律.1.3 强大数定律定义1.3.1（依概率收敛）设为一随机变量序列,X为一随机变量.如果对任意的,有则称依概率收敛于X,记作. 定义1.3.2（以概率1收敛）对任意的,成立 （1.3.1）则称以概率1收敛于,记作. 我们以前讨论的大数定律只要求依概率收敛,若把收敛性要求提高到为以概率1收敛,则得到的大数定律为强大数定律.若强大数定律成立,则通常的大数定律也一定成立,反之不然.有时为区别起见,把依概率收敛意义下的大数定律称为弱大数定律.1.3.1 博雷尔强大数定律定理1.3.1(博雷尔强大数定律)设是事件A在n次独立试验中的出现次数,在每次试验中事件A出现的概率均为p,那么当时, 我们一直期待,当试验次数无限增加时,频率将趋于概率,博雷尔强大数定律正给出了这个结果.从伯努利大数定律并不能引申出这个结论,它只断言一个不等式成立的概率可以大于,不论是什么正数；但是事件中至少有一个发生仍是可能的,因为它是可列个事件之并,而我们只知道每个事件的概率很小,但博雷尔强大数定律则断言以概率1变得很小,而且保持很小.虽然从逻辑上讲,在投硬币时每次都出现正面是可能的,这时,因而并不成立,但是强大数定律断言了这种事件发生的概率为0. 1.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律下面讨论更一般的强大数定律,定义如下： 设是独立随机变量序列,若 则称它满足强大数定律.定理1.3.2(科尔莫戈罗夫强大数定律)设,是独立随机变量序列,且,则成立1.4 几个大数定律的关系及适用场合1.4.1 各个大数定律之间的关系1.伯努利大数定律是泊松大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中,如果,则泊松大数定律也就是伯努利大数定律.伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松大数定律表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性；随着n的无限增大,在n次独立试验中,事件A的频率趋于稳定在各次试验中A出现的概率的算术平均值附近.2.泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中,因此也满足切比雪夫大数定律的条件.3.切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.事实上,在切比雪夫大数定律的条件中由随机变量序列的两两不相关性可知： 从而也满足马尔可夫大数定律的条件. 因此,伯努利大数定律、泊松大数定律也都是马尔可夫大数定律的特例. 4.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形：因为在伯努利大数定律中可定义随机变量 i=1,2,n,.则独立同分布,都服从伯努利分布：且,故满足辛钦大数定律的条件. 但是辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广,因为辛钦大数定律必须要求同分布.1.4.2 大数定律适用条件的分析辛钦大数定律和伯努利大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限的数学期望.泊松大数定律和切比雪夫大数定律对条件有所放松,不要求同分布,但要求有某种独立性.马尔可夫大数定律对题设条件作了进一步放宽,它不要求同分布,也不要求独立性.只要求满足一种关于二阶矩即方差的条件.在这些大数定律中,只有辛钦大数定律不要求方差存在的条件.并且,所给出条件中满足条件的一定服从大数定律.但是不满足这些条件的并不一定就不服从大数定律,我们可以根据各种不同的数学模型,利用大数定律收敛的思想,得到许多类似于这些大数定律的结论,方便更多的数学研究.1.4.3 几个大数定律的应用场合分析伯努利大数定律只适用于伯努利试验（掷硬币模型的一般化）,讲的是频率收敛于概率.泊松大数定律适用于泊松试验（会磨损的掷硬币模型）,在该试验中,每次还是出两种结果之一,但概率会发生变化.切比雪夫大数定律适用于两两不相关的序列（真正常用的独立序列）,并且具有有界方差,比起前两种特殊试验,应用范围大为扩展.马尔可夫大数定律则扩展到一般序列,只要满足马尔可夫条件,非常一般化,因此遇到证明大数定律的题目,答题时最直接的思路就是验证马尔可夫条件.辛钦大数定律适用于独立同分布场合,经常用于数理统计当中.例1 设是相互独立的随机变量序列,且,证明：服从大数定律.证明 满足切比雪夫大数定律条件,所以服从大数定律（注：直接从验证切比雪夫大数定律的条件入手）例2 设是独立的随机变量序列,且 证明：服从大数定律. 证明 由于 故 所以满足马尔可夫条件,由马尔可夫大数定律可知,服从大数定律.（注：直接从验证马尔可夫条件入手）例3 设是相互独立的随机变量序列,且 证明：服从大数定律.证明 当时,故服从切比雪夫大数定律；当时,而 由于,所以有 故满足马尔可夫条件,从而服从大数定律. （注：这个对称的两点分布在讨论大数定律成立条件时是最重要的例子之一.当时,马尔可夫条件成立；而时,马尔可夫条件不成立.）例4 设是独立同分布的随机变量序列,且 试问：是否服从大数定律. 解 由条件可知 即存在,由辛钦大数定律知：服从大数定律. （注：独立同分布的随机变量序列,直接验证其数学期望是否存在,然后利用辛钦大数定律即可得出.）例5 设在随机变量序列中仅与及有关,而与其他的随机变量都不相关,且对一切n,一致地有（C为常数）,证明：服从大数定律.证明 由条件知 又由协方差的性质知：所以 因此 满足马尔可夫条件,故服从大数定律. （注：进入讨论相关序列,这时只有验证马尔可夫条件一条直路.）例6 设是相互独立的随机变量序列,且具有有限方差,证明：如果则必有证明 因为故对任意给定的,存在N,使当时,有.因此,当时,有 因为为定数,令,可得 （注：是科尔莫戈罗夫给出的强大数定律成立条件,本题说明它比马尔可夫条件更强.）例7 设是独立同分布的随机变量序列,且的概率分布为 证明：服从大数定律.证明 ,为讨论这个级数的收敛性,从对数的底数出发,设,则,且有故有 收敛,即存在且有限,同时独立同分布,由辛钦大数定律可知,服从大数定律.（注：在独立同分布场合,用辛钦大数定律.）2大数定律的应用2.1大数定律在数学分析中的应用2.1.1 在积分方面的应用求多重积分时,用普通的近似方法往往无法实现,因为这时所需的运算次数是非常惊人的.而用大数定律作理论基础,可获得n重积分（n很大时）的近似值.例1 假设,求其极限解 假设随机变量在0,1上有均匀分布,而且相互独立,有 ,易见： 由独立同分布,可见独立同分布.根据辛钦大数定律知：从而, 例2 计算定积分的近似值为了解这种近似计算的依据,先进行如下分析：若令为均匀分布的概率密度函数,即则 而函数g(x)的数学期望Eg(x)根据大数定律应用(3),可对该数学期望值进行估计,即,样本： ,故可用 这种近似计算的具体过程如下：欲计算定积分的近似值,则应：先取样本数列求函数序列求出,即作为J的近似值.2.1.2 证明一致收敛例3 用概率方法证明维尔斯特拉斯weierstrass定理.假定f(x)在闭区间a,b上是连续的,那么,存在一列多项式一致收敛于函数证明 不妨设a=0,b=1.可以引入新的变量使这样,假设是连续函数,那么f(x)在0,1上是一致连续并且有界 .对于任意的,存在,使,只要.此外,对于一切 ,有现在建立一多项式：=其中服从二项分布,参数为,而,显然,由伯努利大数定律知： 现在证明一致收敛于.由于可见 由此可得： 由于对任意的,可见存在,使当时,从而,当时,对于一切,有：即关于一致收敛于2.1.3 在极限中的应用在数学分析中,极限的证明通常也是比较困难的.方法较多,在这里,我们同样可以运用概率的方法,根据所求的极限构造适当的概率模型,利用大数定律证明较为复杂的极限,同样能取得较好的结果.例4 假设和是a,b上的连续函数,并且满足条件：存在常数c0,使,试证明： 证 假设是在a,b上均匀分布的独立随机变量,令 那么由大数定律知： , .现证明：依概率收敛于其中 , .由于 可见 故在点连续：对任意的,存在,当和时,.因此, 由此可见： 2.2大数定律在生产生活中的应用大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现因此,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.2.2.1 误差方面的应用 解释测量(随机)误差根据大数定律,对于随机误差 ,应有这说明当测量次数较多时,实测数据的平均值和预测真值a的差值能以很大概率趋于O,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的例l 某种仪器测量已知量A时,设n次独立得到的测量数据为,如果仪器无系统误差,问：当n充分大时,是否可取作为仪器测量误差的方差的近似值?解 把视作n个独立同分布的随机变量(i=1,2,n)的观察值,则.仪器第i次测量的误差的数学期望和方差分别为：设,i=l,2,n,则也相互独立服从同一分布在仪器无系统误差时,即有（i=1,2n）由切比雪夫定律,可得：即 从而确定,当时,随机变量依概率收敛于,即当n充分大时,可以取作为仪器测量误差的方差.2.2.2 估计数学期望和方差 在分布型未知的情况下估计数学期望及方差若及都是随机变量,则有： 样本： 样本： 2.3大数定律在经济中的应用2.3.1 大数定律在保险中的应用大数定律在经济生活中具有非常重要的作用.此定律在有些领域中的作用已经为人们所熟知并且得到极大地应用,如保险业得以存在且不断发展壮大的两大基石中的一个就是大数定律.大数定律应用在保险学上,就是保险的赔偿遵从大数定律.其含义是：参加某项保险的投保户成千上万,虽然每一户情况各不相同,但对保险公司来说,平均每户的赔偿金几乎恒等于一个常数. 假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时,其家属可向保险公司领得1000元.试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元得概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？设表示保险公司支付给第i户的赔偿金,则 0 1000 P 0.994 0.006 诸相互独立.则表示保险公司平均对每户的赔偿金,由中心极限定理知,则 虽然每一家的赔偿金差别很大（有的是0,有的是1000元）,但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于6元,在5.9元至6.1元内的概率接近于1,几乎是必然的.所以,对保险公司来说,只关心这个平均数.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于1000*120=12万元,即死亡人数大于120人的概率.设死亡人数为Y,则由中心极限定理,Y近似服从正态分布,那么 这说明,保险公司亏本的概率几乎等于零.甚至我们可以确定赢利低于3万元的概率几乎等于零（即赔偿人数大于90人的概率也几乎等于零）.如果保险公司每年的利润大于4万元,即赔偿人数小于80人.则可见,保险公司每年利润大于4万元的概率接近100%.在保险市场的竞争过程中,有两个可以采用的策略,一是降低保险费3元,另一个是提高赔偿金500元,哪种做法更有可能吸纳更多的投保者,哪一种效果更好？对保险公司来说,收益是一样的,而采用提高赔偿金比降低3元保险费更能吸引投保户. 注： 1、理论依据： 保险的赔偿遵从大数定律,即如果投保人数充分大,则平均赔偿率几乎恒等于一个常数.利用大数定律与中心极限定理计算相关事件的概率. 2、应用与推广 大数定律的一个重要应用是在保险学方面.基本原理是一系列相互独立随机变量的平均值几乎恒等于一个常数,这个常数就是它的数学期望,或者说一系列相互独立随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.可以广泛应用于保险精算、资源配置等方面. 2.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 到目前为止,大数定律在有些领域中的巨大作用并没有为人们所认知,或者人们的所作所为已经不知不觉地暗含了大数定律,但他们没有意识到.我们现在要谈的是大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,就是属于这种情况. 为说明大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,在此我们将结合非国有中小银行蓬勃发展的例子来加以说明.鉴于目前我国非国有经济已经在工业增加值中占到70%以上,提供着95%以上的新增就业,支撑着80%以上的经济增长率,但其获得的信贷资源却极为有限.这种情况在很大程度上导致了非国有部门的投资、特别是中小非国有企业的投资难以明显增加.因而尽管宏观政策已经不再是信贷紧缩,但实际生活中却出现了“信贷萎缩”.针对上述情况,有些经济学家已经呼吁积极发展和非国有经济相适应的非国有银行体系.事实上素以市场大省而闻名全国的浙江,其非国有中小银行的发展早几年就开始了,而且其中的一些已经取得了骄人的业绩.当然在成功的背后也不乏失败者,许多非国有小银行因经营不善而倒闭.诚如企业一样,非国有中小银行在竞争中有胜有败也是正常现象,不过仔细探究其中的成败得失并加以总结还是很有现实意义的.事实上已经有一些专家学者就一些非国有中小银行蓬勃发展的现象进行了探讨.他们认为：这种非国有中小银行在根本上不同于国有或国家控股的传统金融机构,其产权安排清晰,激励约束机制完善,经营机制灵活,从源头上切断了一切非市场力量的不适当干预,与市场经济有着天然的亲和力和适应性,其竞争行为均按市场经济的效率原则进行,因而具有极强的生命力.还有一点疑惑,为什么其他一些非国有中小银行也具有这些优势,但是却没有这么红火甚至关门倒闭呢？所以,除了上述原因外,一定还有另外一些深层的机理有待发掘.为此,进行了一系列调查,令人感兴趣的是我们发现这些蓬勃发展、运作很好的非国有中小银行有以下两个共同点：一是其老总原来都从事金融工作；二是对贷款零售业务,即对每家客户的贷款数目都不大.就其第二条而言,这几家银行在经营管理中已不知不觉地利用了大数定律.我们知道,由于非国有中小银行经营规模较小,因而只有在每笔贷款数目都不太大时,才可能向尽可能多的客户放贷（当前在贷款时对客户要做适当的选择）.这样做尽管仍然会由于信息不对称以及另外一些因素而造成银行对每个借款人的还贷能力难以准确掌握.由大数定律可知,在客户数量比较多时,所有贷出去的款项中会成为坏账的数量在总的贷款中所占的比例会呈一个比较稳定的数值.因而若银行的管理者能事先对坏账占贷款总数的比例有个较为准确的估计,并进而在制定贷款计划时就将这个比例考虑进去,就能使银行的经营风险降到较低水平.而要做到这一点,就有赖于管理者的素质了,而上述几家信用社的老总由于拥有了原来就在金融部门工作多年的经历,恰好能做到这一点.另外,由大数定律所要求的银行实行每笔贷款的小额化,还有一个非常重要的作用,就是可以降低因借款人的败德行为而给银行带来的损失.在现实生活中不乏下列现象：一个人在借入钱的数额不大时,一般都是能准时归还（因这时若不还钱所得的收益和由此所造成的名誉损失相比是得不偿失的）,给人的感觉就是此人的信用很好,因而人们都乐于借钱给他；但当此人在借入了大笔的钱后,则他可能携款潜逃或先将财产转移后再以经营亏空为由,并摆出一付要钱没有、要命一条的样子,拒不还钱.这种道德败坏行为会给银行造成巨大损失,严重时甚至会导致那些经营规模较小的银行倒