第三章 二维随机向量的联合分布

第三章随机向量及其概率分布,二维随机变量的联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性n维随机向量简介随机向量函数的分布,3.1.1二维随机变量及其分布,定义3.1：设是随机试验E的样本空间，X和Y是定义在上的随机变量，由它们构成的二维向量（X，Y）称为E的一个二维随机变量。,3.1多维随机变量及其分布,定义3.2：设（X，Y）是二维随机变量，对一切(x,y)，称二元函数为（X，Y）的联合分布函数，或称为（X,Y）的分布函数。,联合分布函数的性质：（1）,性质（4）正是一维随机变量与二维随机变量的不同之处。,定义3.3：如果，二维随机向量（X，Y）的一切可取值为有限多对，或可列多对，则称（X，Y）为二维离散型随机向量。,定义3.4：设二维离散型随机向量（X，Y）所有可能取得值为（xi，yj），i，j1，2，则称：,3.1.2、二维离散型随机向量,为（X，Y）的联合分布律，或称为（X，Y）的分布律。,（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：,例1（二维01分布）设一个袋中有2个黑球，3个白球，从中任取2个球，X表示第一次取出的白球个数，Y表示第二次取出的白球个数，分别求出（1）有放回抽取，（2）不放回抽取时,（X，Y）的联合分布律。,解：直接用表格表示为：,例2、抛一枚硬币3次，令X表示头两次出现正面的次数，Y表示3次总共出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布律。,例3、把5个球任意的放到3个盒子中，令X表示落在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个盒子中球的个数，求(X,Y)的联合分布律。,解：（X,Y）=（i,j）（其中i,j=0,1,5；i+j5）,3.1.3二维连续型随机向量,定义3.5：设是二维随机向量（X，Y）的分布函数，若存在着非负可积函数，使对一切的有,则称（X，Y）是二维连续型随机向量，函数称为二维连续型随机向量（X，Y）的联合概率密度函数。,密度函数有如下性质：,（1）,（2）,（3）若在点处连续，则有：,（4）设G是xy平面上的一个区域,向量落在G内的概率为：,其中（1），（2）为联合密度函数的基本性质。,例2、设二维随机向量（X，Y）具有概率密度求：（1）常数A（2）分布函数（3）概率,二维均匀分布：设G是xy平面上的区域，S是G的面积，若二维随机向量（X，Y）具有概率密度则称（X，Y）在G上服从均匀分布。若区域是G内的面积为的子区域，则有,二维正态分布：设对给定的常数,3.2边缘分布,3.2.1边缘分布函数,定义：设是（X，Y）的联合分布函数，称分别为（X,Y）关于X，Y的边缘分布函数。,定理：,3.2.2.边缘分布律,命题：设（X,Y）是二维离散型随机向量，其联合分布律为：,例1：在3-1例1中，分别求出（X，Y）关于X和Y的边缘分布。,例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为p，令X表示首次击中目标所需的射击次数，Y表示第二次击中目标所需的射击次数，求（X，Y）的联合分布律和边缘分布律。,显然，（X，Y）可能取的一切值为,3.2.3边缘概率密度函数,由式书上（3.2.1）及定义3.4知：,而,由分布函数的定义知：,例2：在0,1区间上任意取两点，令X和Y分别表示这两点的坐标（设XY），求（X，Y）的联合概率密度及（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度。,所以：,解：由题意可知，其面积为S，则另一方面，X、Y是任取得两点，所以（X，Y）在G上服从二维均匀分布，故其联合概率密度为,那么，边缘密度为：,3.3.1条件分布函数,3.3条件分布,3.3.2离散型随机变量的条件分布律,设（X，Y）的联合分布律为,并称,为在条件下随机变量Y的条件分布律。,求条件分布律P(Y=j|X=1)（书上例3.1.4）,例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为p，令X表示首次击中目标所需的射击次数，Y表示第二次击中目标所需的射击次数，求（X，Y）的条件分布律。,解：由前面的解题过程可知，联合分布律为：,由条件分布律的定义得：,3.3.3连续型随机变量的条件密度,同理可得：,例2、设二维随机变量（X，Y）在区域上服从均匀分布，求条件概率密度。,解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积为。所以，联合概率密度为：,边缘密度函数为：,所以，当时，条件密度函数为：,例3、设（X，Y）的联合密度为,求：,解：,即,从而,所以,3.4随机变量的独立性,（2）,解（1）,两个随机变量相互独立的判定定理：,例1、盒中有2个黑球，3个白球，从中分不放回和有放回两种方式抽取2个球，令X表示第一次取到的白球个数，Y表示第二次取到的白球个数，判断X，Y的独立性。,例2、设（X，Y）服从二维正态分布讨论X，Y的独立性。,3.5n维随机向量简介,一、n维联合分布,定义2如果(X1,Xn)只取有限多组或可列无穷多组数值，则称(X1,Xn)为n维离散型随机变量，,称为(X1,Xn)的联合分布律。,联合分布律具有如下性质：,（1）（2）,（3）对n维连续型变量(X1,Xn)，落在n维空间某区域G内的概率为,二、k维边缘分布及条件分布,定义4称(X1,Xn)中任意k个分量所构成的k维随机向量的分布为(X1,Xn)的k维边缘分布。,三、n维随机向量的独立性,2.性质：,（1）若n个随机变量X1,Xn相互独立，则其中任意k()个随机变量也相互独立。（2）,3.6随机向量函数的分布,问题：已知Z=g(X,Y)以及(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？,1、(X,Y)为二维离散型随机向量设（X，Y）是二维离散型随机向量，已知其联合分布律为求的分布律，根据离散型随机变量分布律的定义，首先找出可能取的一,切值，若Z可能取的一切值为（），则,2、二维连续型随机变量的函数的分布,思路：设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y),显然Z是一维随机变量，其分布函数为,如果设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,利用Z的分布函数与Z概率密度之间的关系，可以最终求出Z=g(X,Y)的概率密度。,例2、设(X,Y)的联合概率密度函数为求的概率密度。,设是的分布函数，记区域：根据连续型随机变量在平面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率密度在这个区域上的二重积分。有,（此时的积分区域就是右图的G*）,交换积分次序有,例3、设X、Y是两个相互独立同服从标准正态分布的随机变量，求的概率密度函数。,解：X、Y的密度为,由卷积公式得：,由的密度可见，,更一般的结论，见教材P109。,定义：X，即X的概率密度函数为,例5、（X，Y）的联合概率密度为求Z=Y-2X的密度。,例6、设X,Y是相互独立的随机变量，X服从均匀分布U(0,2),Y服从均匀分布U(0,1),求Z=XY的密度函数。,例7、设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度为求的密度。,例8、设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),求M=max(X1,X2,Xn)，N=