浅谈导数在高中数学中的应用

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/8浅谈导数在高中数学中的应用浅谈导数在高中数学中的应用【关键词】高中数学中的导数；应用导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。1几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程YF（X）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。下面给出求曲线的切线方程的方法步骤（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/8在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程YF（X0）F（X0）（XX0）例1试求曲线YXLNX上点（1，2）的切线方程解对函数F（X）XLNX求导得F（X）LNX1所以F（1）LN111，所以在点（1，2）的切线方程为Y21（X1）即YX1切线方程YX1先求出函数YF（X）在XX0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。例2求垂直于直线2X6Y10并且和曲线YX33X25相切的直线方程。解因为所求的直线与已知直线2X6Y10垂直所以所求直线的斜率K13又因为所求直线与YX33X25相切，所以它的斜率K2Y3X26X因为K1K2即3X26X3所以（X1）20即X1代入曲线方程得Y（1）33（1）253精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/8所以切点为（1，3）故所求直线方程为Y33（X1）即3XY60。2在函数方面的应用运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。21函数单调性的讨论。（1）利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断F（X1）F（X2）正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出F（X），再考虑F（X）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。一般地，在某个区间（A，B）内，如果F（X）0，那么函数YF（X）在这个区间内单调递增；如果F（X）0，那么函数YF（X）在这个区间内单调递减。如果在某个区间内恒有F（X）0，则F（X）是常函数。注意在某个区间内，F（X）0是F（X）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/8（2）求函数YF（X）单调区间的步骤。确定YF（X）的定义域；求导数解F（X）0此方程，求出它们在定义域区间内的一切实数根。当F（X）0时，YF（X）在相应区间上是增函数；当F（X）0时，YF（X）在相应区间上是减函数。例3判定函数Y1X3X和Y2X3X在（，）上的增减性。解Y13X213（X13）（X13）当Y10得X13或X13当Y10得13所以Y1X3X在（，13）和（13，）内单调递增，在（13，13）内单调递减。因为Y23X210，故Y2X3X在（，）上单调递增。22函数的极值的求法。例4求函数F（X）13X34X4的极值。解因为F（X）13X34X4，所以F（X）X24（X2）（X2）。令F（X）0，解得X2或X2。下面分两种情况讨论精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/8（1）当F（X）0，即X2或X2时；（2）当F（X）0，即2当X变化时，F（X），F（X）的变化情况如下表因此，当X2时，F（X）有极大值，并且极大值为F（2）283；当X2时，F（X）有极小值，并且极小值为F（2）43。点评求可导函数的极值的步骤可归纳为（1）求导数F（X）；（2）求方程F（X）0的根；（3）检查F（X）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么F（X）在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么F（X）在这个点出取得极小值。23函数的最值求法。极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。当然函数在某个区间上一定是连续的不断的曲线，它必有最大值和最小值。例5求函数YCOS2XCOSX1的极值和最值。解Y2COSXSINXSINX，令Y0得SINX（2COSX1）0解得SINX0或COSX12，由SINX0可得精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/8COSX1或COSX1，因此，当COSX12时，得Y极小34；当COSX1时，得Y极大3；当COSX1时，得Y极大1。则YMAX3，YMIN34最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。一般地，求函数F（X）在A，B上的最大值与最小值的步骤如下（1）求F（X）在（A，B）内的极值；（2）将F（X）的各极值与端点处的函数值F（A），F（B）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，从而得出函数F（X）在A，B上的最值。3利用导数解决实际优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/8例6有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省解设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为X千米，所需水管总费用为Y元，则Y500（50X）700X240225000500X700X21600，Y500700X12（X21600）122X500700XX21600，令Y0，解得X5063当X0，5063）时，Y0；当X5063，50）时，Y0，所以当X5063时，Y取得极小值，也是最小值。答水厂建在距甲距离为505063千米时，所需水管费用最省。解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把得主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题。再化归为常规问题，选择合适的数学方法解题。“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大（小）值，其主要步骤如下精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/8（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中的变量之间的函数关YF（X）系；（2）求函数的导函数F（X），解方程F（X）0；（3）比较函数在区间端点和使F（X）0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。导数在高中数学中只能介绍一些简单的应用。对于高中学生，这一部分内容不能挖掘太深，因为导数的引入，本质上就是将初等数学中一些高难度、繁杂的问题简化。但也要求学生对该部分内