19.4综合与实践多边形的镶嵌 (2)

八年级数学,第十九章四边形,2018.5.22合作学习者：蜀山中学八（3）班全体同学、高媛媛,19.4综合与实践多边形的镶嵌,图案欣赏,图案欣赏,图案欣赏,用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无空隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。,平面镶嵌,注意：各种图形拼接后要达到三个要求：无缝隙；不重叠；能连续铺成一片。,仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？,探究一,(一）正三角形的平面镶嵌,60,60,60,60,60,60,6个正三角形可以镶嵌,（二）正方形的平面镶嵌,90,4个正方形可以镶嵌,1,2,3,1+2+3=?,（三）用边长相同的正五边形能否镶嵌？,324,360,（四）正六边形的平面镶嵌,120,120,120,3个正六边形可以镶嵌,思考：,为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？,结论,要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于,360,正多边形可以镶嵌的条件：,每个内角都能被360o整除。,用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？,探究二用单独一种非正多边形能进行平面镶嵌吗？,（一）同一种任意三角形的镶嵌,结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。,1+2+3=1802(1+2+3)=360,通过探究我发现：,1.任意全等的三角形都_镶嵌,2.在每个拼接点处有_个角，而这_个角的和恰好是这个三角形的内角和的_倍，也就是它们的和为_，,可以,六,六,两,360o,（二）同一种任意四角形的镶嵌,结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。,因为1+2+3+4=360,通过探究我发现：,1.任意全等的四边形_镶嵌.2.在每个拼接点处有_个角，而这_个角的和恰好是这个四边形的四个内角之_,也就是它们的和为_.,可以,四,四,和,360,例如：在五边形中，内角和540，已经超过360，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一般多边形不一定可以平面镶嵌。,问题：一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？,用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?,探究三,当拼接点处的所有角之和是360时，就能拼成一个平面图形。,（一）正三角形与正方形,2m+3n=12,m=3n=2,m60+n90=360,解：设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角，则有,m,n为正整数,解为,3个正三角形+2个正方形,（二）正三角形与正六边形,m+2n=6,m=2n=2,m=4n=1,m60+n120=360,解：设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角，则有,m,n为正整数,解为,2个正三角形+2个正六边形,4个正三角形+1个正六边形,1个正方形+2个正八边形,（三）正方形与正八边形,2个正五边形+1个正十边形,（四）正五边形与正十边形,（五）正三角形与正十二边形,1个正三角形+2个正十二边形,小结,1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360。,3.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌,4.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌,2.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形,5.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等,我们校园一景,作业请你用两种正多边形设计一幅平面镶嵌的图案.,拓展,能否用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）能铺满地面？,6.用三种正多边形镶嵌：（1）正三角形，正方形，正六边形；（2）正方形，正六边形，正十二边形；（3）正三角形，正方形，正十二边形；（4）正三角形，正十边形，正十五边形；（5）正三角形，正九边形，正十八边形；（6）正三角形，正八边形，正二十四边形；（7）正方形，正五边形，正二十边形；,注意：用正五边形和正十边形或用正三角形，正七边形，正四十二边形可以在一个顶点处镶嵌，但却不能铺完整个平面。,1个正三角形+2个正方形+1个正六边形,正四边形、正六边形和正十二边形,你还能探究出哪些用三种边长相等的正多边形镶嵌的情况？,正四边形、正六边形和正十二边形,你还能探究出哪些用三种边长相等的正多边形镶嵌的情况？,还