§1.1整除的概念 带余除法ppt课件

5/9/2020,初等数论,5/9/2020,初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。,5/9/2020,第一章整数的可除性,整除性理论是初等数论的基础，本章要介绍,带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公,算术基本定理。,倍数，,5/9/2020,一、整除的概念带余数除法,二、最大公因数与辗转相除法,第一章整数的可除性,三、整除的进一步性质,四、质数算术基本定理,五、取整函数及其在数论中的一个应用,5/9/2020,中小学数学中的一些数论问题：,4.已知:782+8161能被57整除，求证：783+8163也能被57整除。,1.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始每隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？,2.已知66X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.,3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？,5/9/2020,第一节整除的概念带余数除法,5/9/2020,相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。,注：显然每个非零整数a都有约数1，a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。,例1有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？,12345679,5/9/2020,二、整除的性质,定理1传递性,定理2,定理3（线性组合）,例2,若a,b是整数，且7(a+b),7(2ab)，证明:7|(5a+2b)。,5/9/2020,例3已知：782+8161能被57整除，,求证：783+8163也能被57整除。,证明：783+8163=7(782+8161)78161+8163,=7(782+8161)+816157,782+8161和57都能被57整除,原式得证。,5/9/2020,整除的一些常用结论：(1)当b是整数a的因数时，-b也是整数a的因数.（因数是成对出现的）(2)当b是整数a的因数时，a/b也是整数a的因数.(3)设b，c都是非零整数，(i)若b|a，则|b|a|.(ii)若b|a，则bc|ac;1|b;b|b.(iii)若b|a，则10，则存在唯一的两个整数q和r，使得,定义2：（1）式通常写成,并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得的余数；(1)式称为带余数除法算式，(2)式称为带余数除法。,5/9/2020,证明：,存在性：考虑整数序列,则a必在序列的某两项之间，,即存在一个整数q，使得,唯一性：反证板书,欧几里得除法,5/9/2020,欧几里得除法,(唯一性)如果分别有整数q，r和q1，r1满足（2），则a=bq+r，0rb，a=bq1+r1，0r1b两式相减，我们有b(q-q1)=-(r-r1)当qq1左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值小于b，这是不可能的.故q=q1，r=r1.,5/9/2020,例4利用带余数除法，由a,b的值求q,r并写出带余除法算式,如果允许b取负值，则要求,5/9/2020,5/9/2020,5/9/2020,带余数除法的应用举例,例1证明形如3n-1的数不是平方数。,5/9/2020,例2、任意给出的5个整数中，必有3个数之和被3整除。,5/9/2020,5/9/2020,5/9/2020,5/9/2020,阅读思考：整除的规律,第一条：任何整数都能被1整除。注：以下是就整数的十进制表示法而言。第二条：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。2第三条：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。第四条：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。第五条：个位上是0或5的数都能被5整除。第六条：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。,5/9/2020,第七条：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。第八条：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。第九条：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。第十条：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。第十一条：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。第十二条：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。,5/9/2020,第十三条：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述过程，直到能清楚判断为止。第十四条：a若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述过程，直到能清楚判断为止。b若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。,5/9/2020,第十五条：a若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍