多来专升本高数4-6页(1)

多来专升本【高等数学】复习内容全解1.1 函数 一、函数的基本概念1.集合集合是数学中最基本的概念之一。一般地，集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,.表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,.表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为xS。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为yS。表示集合的方法通常有两种，即列举法、描述法。列举法列举法就是将集合的元素逐一列举出来。例如，光学中的三原色可以用集合红，绿，蓝表示；由四个数字1，2，3，4组成的集合A，可用A=1、2、3、4表示，如此等等。描述法描述法的形式为代表元素|满足的性质。设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S=x|x具有性质P。例如，由4的平方根组成的集合B可表示为B=x|x2=4或B=x|x=2、-2。习惯上，数学中把全体正整数的集合记为： N+= 1，2，n， ；全体自然数（即非负整数）记为：N= 0，1，2，n，；全体整数记为：Z= ，-n，-2，-1，0，1，2，n，；全体有理数记为：Q= qp| pZ，qN+且P与q互质 ；注意：有一类特殊的集合：不含任何元素的集合称为空集，记作.2.区间与邻域在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0 x 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。用集合的语言，我们定义各种区间为：a,b=xR:axb(a,b)=xR:axb(a,b=xR:axba,b)=xR:axb其中a，b既可以是有限大小的实数，也可以是无穷。领域是一个常见的数学概念，它表示是一个特殊的区间，例如以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。又如，设是一个正数，则开区间（a-，a+）称为点a的邻域，记作：Ua,=xa-xa+其中点a称为这个邻域的中心，称为这个邻域的半径。由于a-xa+相当于x-a，因此， Ua,=xx-a，它们表示的都是与点a的距离小于的一切点x的全体。需要特别注意的是，有时用到的邻域需要把邻域中心去掉，例如点a的邻域去掉中心a后，就称为点a的去心邻域，记作：Ua， 即Ua，=x|0|x-a|0，a1，定义域为x0；y=sinx或y=cosx，定义域为-，+；y=tanx，定义域为xk+2；kZ；y=cotx，定义域为xk，kZ；y=arcsinx或y=arccosx，定义域为-1,1 . 考点一、求函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的的取值范围。1. 对于初等函数而言应注意以下几点：(1) 遇到分式时，分式中的分母不能为零；(2) 遇到根式时，注意偶次方根号下的表达式不能为负值；(3) 遇到对数函数时，注意自变量的取值必须大于零；(4) 关于三角函数自变量的取值，应结合图像记忆下来。例1 函数fx=x+2+ln(3-x)的定义域是 ( )A. -3,2 B. -3,2) C. -2,3) D. -2,3解析：根据上面介绍的规则可知，遇到二次根式x+2，应使x+20，即x-2；遇到对数函数ln(3-x)，应使3-x0，即x0x0，所以0x0x-11，即0x2x1x2 解得 1x2.2. 如何求复合函数的定义域（难点）(1) 已知给定函数f(x)的定义域 a x b，求复合函数f(x)的定义域：先由a x b直接得到a (x) b，再结合(x)的表达式求出x的取值范围。(2) 已知复合函数f(x)的定义域a x b，求函数f(x)的定义域：直接根据(x)的表达式求出(x)的值域，即为函数f(x)的定义域。注意：求复合函数的定义域时应记住两条原则： 无论对于函数f(x)还是复合函数f(x)而言，求其定义域指的都是求自变量x的取值范围。 函数f(x)中x的与复合函数f(x)中的(x)处于相同的地位。例1 已知函数f(x)的定义域为-1,1，求函数f(x+1)的定义域。解析：已知函数的定义域为-1,1，即-1x1，我们已经知道求复合函数的定义域时，函数f(x)中x的与复合函数f(x)中的(x)处于相同的地位，所以对于复合函数f(x+1)而言，应有-1x+11，解得-2x0，故函数f(x+1)的定义域就是-2x0。例2 已知函数f(x+1)的定义域为-2,0，求函数f(x)的定义域。解析：已知函数f(x+1)的定义域为-2,0，即-2x0，因此-1x+11；求函数f(x)的定义域就是求自变量x的取值范围，而我们又知道函数f(x)中x的与复合函数f(x)中的(x)处于相同的地位，所以求出函数复合f(x+1)中的取值即得函数的定义域。而我们已经求出复合函数f(x+1)中：-1x+11，所以函数f(x)的定义域就是-1,1。例3 已知函数f(x)的定义域为(-1,1，