《数字信号处理教学课件》d

本章主要内容序列的傅里叶变换的定义和性质周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系序列的Z变换利用Z变换分析信号和系统的频域特性,第2章时域离散信号和系统的频域分析,信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统信号用连续变量时间t的函数表示；系统则用微分方程描述；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统信号用序列表示；系统用差分方程描述；频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；,2.1引言,时域分析方法和频率分析方法,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.1序列傅里叶变换的定义称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,求FT的反变换，用ejm乘上式两边，并在-内对进行积分，得到,因此,傅里叶变换对,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,设N=4，幅度与相位随变化曲线如下图所示,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在FT定义式中，n取整数，因此下式成立结论：(1)序列的傅里叶变换是频率的连续周期函数，周期是2。(2)X(ej)可展成傅里叶级数，x(n)是其系数。X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。(3)在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT,M为整数,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,2.线性3.时移与频移设X(ej)=FTx(n)，那么,设：,则：,式中a,b为常数,),改变相位,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,4.FT的对称性(1)共轭对称序列共轭对称序列xe(n)满足：将xe(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：得到：,xe(n)=x*e(-n),xe(n)=xer(n)+jxei(n),x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n),实部是偶函数,虚部是奇函数,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到,xo(n)=x*o(-n),xo(n)=xor(n)+jxoi(n),x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n),实部是奇函数,虚部是偶函数,xor(n)=xor(-n)xoi(n)=xoi(-n),2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,例1试分析x(n)=ejn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejn因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。将序列展成实部与虚部的形式，得到x(n)=cosn+jsinn上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到,x*(-n)=xe(n)-xo(n),x(n)=xe(n)+xo(n),2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(4)频域函数X(ej)的对称性任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=X*e(ej)Xo(ej)=X*o(ej)Xe(ej),Xo(ej)和原频域函数X(ej)的关系,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(5)研究FT的对称性(a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。,xi(n),2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(b)序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。,x(n)=xe(n)+xo(n),2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw),FT,FT,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,(6)研究实因果序列h(n)的对称性因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。所以其FT具有共轭对称性。即：H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数即：HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,例2x(n)=anu(n),0a1,求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n),0,n0,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,例2：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解,HR(ejw)=FThe(n)=1+0.5ejw+0.5ejw=he(n)e-jwn,根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n),根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)=h(n)e-jwn=1+e-jw,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,5.时域卷积定理设：y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ej)=X(ej)H(ej)证明：令：k=n-m,则,m,m,定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,6.频域卷积定理设：y(n)=x(n)h(n)则：证明：,x,2.2序列的傅里叶变换的定义和性质,7.帕斯维尔Parseval定理,）,定理说明：信号时域的总能量等于频域中的总能量。,证明：,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,周期序列不满足绝对可和条件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展开成离散傅里叶级数，当引入奇异函数，其FT可用公式表示。2.3.1周期序列的离散傅里叶级数1.周期序列的离散傅立叶级数(DFS变换)设是以N为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的形式：式中ak是傅里叶级数的系数，为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，所以系数也是周期序列，ak=ak+lN，令：,式中:,因此:,n,周期序列的离散傅里叶级数,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2、周期序列离散傅立叶反变换(IDFS变换)如上式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到,由于：,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,总结：一个周期为N的周期序列DFS变换对为,意义：表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k，k=0,1,2N-1，幅度为，基波分量的频率是2/N，幅度是,一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照DFS变换公式,幅度特性表明周期序的DFS:与N有关；在频域中是个离散的周期序列,j,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，的傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2，即在时域离散系统中，对于x(n)=ejon，2/o为有理数，其FT也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，由于n取整数，下式成立,在02r处的单位冲激函数,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,对于一般周期序列，其离散傅里叶级数为：对其进行傅里叶变换：如果让k在之间变化，上式可简化成：,奇异函数,其中：,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例2:求例1中周期序列的FT。解：将例1中得到的代入周期序列的FT公式中得到,对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线)，所以，周期序列的频谱分布用其DFS和FT表示都可以,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,例3令，2/0为有理数，求其FT。解：欧拉公式展开表明:cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓。,2,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,模拟信号xa(t)傅里叶变换对,序列x(n)的傅里叶变换对,x(n)=xa(nT),提出问题：(1)序列的傅里叶变换X(ej)与模拟信号的傅里叶变换Xa(j)之间有什么关系。(2)数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系。,时域关系,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,t=nT,w=T,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,结论：离散信号可看作模拟信号的采样序列：数字域频率与模拟域频率呈线性关系：离散信号的FT(频谱)是对应的模拟信号FT(频谱)以s=2/T为周期的周期延拓。,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,模拟频率与数字频率之间的定标关系,模拟域频域,数字域频域,归一化频率：f=f/fs=/s，=/2,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,例设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。,解：(1),Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,(2)以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，根据与xa(t)的关系式：根据采样信号和模拟信号的FT之间的关系，可得到：,2.4时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：,(3)由采样信号得到的序列x(n)，x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)，序列x(n)的FT，只要将=/T=fs代入：,2.5序列的Z变换,在模拟信号和系统中，用FT进行频域分析，用拉普拉斯变换对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的FT进行频域分析，用Z变换进行复频域分析。2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为：注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式,2.5序列的Z变换,Z变换存在的条件：等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即：使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。收敛域一般为环状域令：Z=rejw，代入上式可得到：Rx-r1,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,信号和系统的频域特性用序列的傅里叶变换和Z变换进行分析。2.6.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)。(1)对h(n)进行傅里叶变换得到H(ej)。称H(ej)为系统的传输函数，表征系统的频率特性。,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,(2)对h(n)进行Z变换，得到H(z)称H(z)为系统的系统函数，表征了系统的复频域特性。(3)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：,H(z)h(n),系统的单位脉冲响应h(n)在单位圆上的Z变换就是系统的传输函数,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性1、因果系统当n0时，h(n)=0；系统函数H(z)的收敛域一定包含点,收敛域在某个圆外。2、稳定系统：要求：系统函数H(z)的收敛域包含单位圆。3、系统因果且稳定收敛域包含点和单位圆，收敛域可表示为r|z|，0r1,所有极点集中在单位圆的内部,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性,N,A=b0/a0，影响传输函数的幅度大小，cr是H(z)的零点，dr是其极点，影响系统特性的频率特性,分子分母同乘以zN+M，得到:,因式分解,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,设系统稳定，将z=ej，得到传输函数,设N=M,在z平面上,B,B,极坐标,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,结论：系统的传输特性或者信号的频率特性可由上式作定性分析(几何分析)，当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，根据上式可分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如：下图表示了具有一个零点和二个极点的频率特性,谷点,峰值,2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性,极点越靠近单位圆，极点矢量长度越短，峰值越尖锐，极点在单位圆上，幅度特性为，系统不稳定；零点越靠近单位圆，零点矢量长度越短，峰值接近零，零点在单位圆上，谷值为零；极点位置影响频响的峰值位置和尖锐程度，零点位置影响频响谷点位置和形状；应用：若要使设计的滤波器滤掉某个频率(不让某一频率通过)，可在单位圆上相应的频率处设置一个零点；若要使设计的滤波器让某个频率无衰减通过(突出某一频率)，可在单位圆内相应的频率处设置一个极点；适当地控制零、极点的分布，可改变数字滤波器的频率特性,例：已知H(z)=z-1，分析其频率响应H(ej)的特性。,说明：,当从02变化时