连续系统的频域分析

第四章傅立叶变换和系统的频域分析,电气工程师们总是习惯于通过频谱考虑信号的问题，通过频率响应考虑系统的问题。我们都知道音频信号中可以听到的部分大约有20KHz的带宽，高质量的音响需要对高达20KHz的频域信号做出响应。,这基本上都是在频域中思考问题。尤其在通信领域更要从频域思考问题。,因此，本章我们要从时域转换到频域，介绍信号的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的响应（零状态）频域表示。,激励信号,信号频域表示,系统的冲激响应,响应信号(零状态）,系统频域表示,响应频域表示,频域分析,时域分析,第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。,其中h(t)或h(k)反映了系统的特性。,第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散时间系统的变换域分析。,变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。,任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。,本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续系统的频域分析。,可推出：,本章的主要内容:,4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱-傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析4.9取样定理（模拟信号数字化传输的理论基础）4.10序列的傅立叶分析4.11离散傅立叶变换及其性质,连续时间信号的频域表示-信号的分解.,4.1信号分解为正交函数,一、正交函数集二、信号分解为正交函数,为各相应方向的正交单位矢量。它们组成一个二维正交矢量集。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。,（2）正交函数集在区间上的n个函数（非零）,其中任意两个均满足为常数，则称函数集为区间内的正交函数集。,（3）完备正交函数集,在区间内组成完备正交函数集。,这时因为：,称为三角函数集。,在区间内组成完备正交函数集。,对于所有的m和n。,对于复函数:,若复函数集在区间满足,，则称此复函数集为正交函数集。,复函数集在区间内是完备的正交函数集。,其中。,因为：,二、信号分解为正交函数,式中：,这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式。,4.2傅里叶级数,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。,三角函数集,指数函数集,一、周期信号的分解,二、奇、偶函数的傅里叶系数,三、傅里叶级数的指数形式,一、周期信号的分解,其中称为傅里叶系数，。,那么,傅里叶系数如何求得呢?,式中：,由上式可见，是的偶函数，是的奇函数，,得到三角型傅里叶级数的简洁形式。,式中：,则有,一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量;一次谐波或基波，它的角频率与原周期信号相同;二次谐波，依此类推，三次，四次等谐波。,一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。,例4.2-1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。,解：,它仅含有一、三、五、七.等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,（1）级数所取项数愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号,其均方误差越小。,（2）级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）,低频成分-合成波形的主体轮廓。高频成分-合成波形的细节部分。,若给定的有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。,（1）为偶函数,则有，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,因此,因此,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,奇函数部分,偶函数部分,*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与坐标原点的选择有关。,信号横坐标上下移动会影响信号的分量大小。,直流,信号纵坐标左右移动会影响信号的各次谐波分量的大小。,初相位,此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即,（3）为奇谐函数,如例题中的方波信号就是奇谐函数。,例4.2-2正弦交流信号经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。,（a）全波整流信号（b）半波整流信号,解（1）全波整流信号,图（a）的全波整流信号可写成（其周期，为原正弦信号角频率）,由于它是t的偶函数，故，,令，对上式进行变量替换得:,可见，它除直流外，仅含有的偶次谐波。,想一想：本题中若把f1(t)看成以T/2为周期，则,由于它仍是的偶函数，故，,令，则对上式进行变量替换:,（2）半波整流信号,图（b）的半波整流信号可写为（其周期）,它的傅里叶系数可直接由下式求出,本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：,全波整流,半波整流,三、傅里叶级数的指数形式,将上式第三项中的用代换，并考虑到是的偶函数，即；是的奇函数,即，则上式可写为:,令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为，相角为，则得傅里叶级数的指数形式为,复傅里叶系数,这就是求指数形式傅里叶级数的复系数的公式。,任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度（或相量）为。,与互为共轭。,与的关系。,三角型傅里叶级数：,物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的正弦函数之和。,指数型傅里叶级数：,物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的虚指数函数之和。,思考:负频率的含义?,例4.2-3周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数型傅里叶级数。,解：,复傅里叶系数与，的关系（书上128页）,4.3周期信号的频谱,一、周期信号的频谱,如果将的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。,单边谱：,*每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。*连接各谱线顶点的曲线称为包络线。,如果将的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。,双边谱：,*信号分解为各虚指数函数，图中的每一条谱线表示各分量的幅度（称为双边幅度谱）。其中。,周期信号频谱的共同特点:,下面我们来看一下周期矩形脉冲信号的频谱。,第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。,第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量n，而决不含有非的谐波分量。,第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。当n时，。,二、周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为1，脉冲宽度为的周期性矩形脉冲，其周期为，求其复傅里叶系数。,图4.3-2周期矩形脉冲,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：,下面我们画出周期性矩形脉冲信号的双边谱。,-取样函数,1.它是偶函数。,2.当时，。,3.当时，函数值为0。,它是无限拖尾的衰减振荡。,取样函数的特性:,第一个零点时谱线的序号：,零点的位置：,相邻谱线的间隔：,第一个零点的位置：,周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点:,第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。,第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量n，而决不含有非的谐波分量。,第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。当n时，|Fn|0。,1、各谱线的幅度按包络线的规律变化。在各处，即的各处，包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等于零。,2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，它可分解为无限多个频率分量。,周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点:,通常把频率范围称为周期矩形脉冲信号的带宽，用符号表示，即周期矩形脉冲信号的频带宽度为。,3、周期相同，脉冲宽度不同,信号的频谱：谱线间隔不变，但零点位置变化。周期不同，脉冲宽度相同,信号的频谱：零点位置不变，谱线间隔变化。,见图,见图,返回,返回,三周期信号的功率,周期信号是功率信号，归一化平均功率为:,这是时域上的表达式。,将的傅里叶级数展开式代入上式得：,下面我们来讨论频域上的表达式？,将被积函数展开，在展开式中具有形式的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有形式的项，当时，其积分值为零，对于的项，其积分值为，因此上式的积分为：,上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和。,由于是的偶函数，且，上式可改写为：,上两式称为帕斯瓦尔恒等式。,它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。,例4.3-1试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。,解：由上图可求得信号的功率：,将展开为指数型傅里叶级数：,其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在，这时,0.2,根据式,在频谱第一个零点内的各分量的功率和为:,即第一个零点以内各分量的功率占总功率的。,4.4非周期信号的频谱,前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,一、傅里叶变换,.,当周期趋近于无限大时，趋近于无穷小，取其为，而将趋近于，是变量，当时，它是离散值，当趋近于无限小时，它就成为连续变量，取为，求和符号改为积分。,由式，可得,如何求频谱密度函数？,于是当时，式,成为,称为的频谱密度函数或频谱函数.称为的原函数。,简记为,下面来看一下为什么称其为频谱密度函数？在讨论这个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一下频谱密度函数的实部，虚部，模，相角的奇偶性。,是的偶函数。,是的奇函数。,下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？,上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。由式可见，相当于各“分量”的振幅，它是无穷小量。,所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数可看作是单位频率的幅度，称为频谱密度函数。,例4.4-1下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号表示，其宽度为，幅度为。求其频谱函数。,解：如图所示的门函数可表示为,其频谱函数为,图4.4-1门函数及其频谱,1.如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。为负代表相位为，为正代表相位为。,2.门函数的带宽，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。,例4.4-2求下图所示的单边指数函数的频谱函数.,解:将单边指数函数的表示式代入到式,中得：,幅度谱和相位谱分别为：,频谱图如下图所示：,图4.4-3单边指数函数,例4.4-3求下图所示双边指数信号的频谱函数。,解：上图所示的信号可表示为：,或者写为,将代入到式，可得其频谱函数为：,其频谱图如下所示：,实偶,实偶,例4.4-4求下图所示信号的频谱函数。,其频谱图如下图所示：,实奇,虚奇,二奇异函数的傅里叶变换,1、冲激函数的频谱,即单位冲激函数的频谱是常数，如下图所示。其频谱密度在区间处处相等，常称为“均匀谱”或“白色频谱”。,2、冲激函数导数的频谱,按冲激函数导数的定义：,3、单位直流信号的频谱,幅度等于1的直流信号可表示为：,所以,4、符号函数的频谱,符号函数定义为,则它的频谱函数也是的频谱函数，当时的极限。,我们已知的频谱函数为：,它是的奇函数，在处。,因此，当趋近于零时，有：,于是得,它在处的值等于零。,5、阶跃函数的频谱,其频谱的实部和虚部分别为:,频谱的虚部是的奇函数，在处其值等于零。,附录五列出了常用信号的傅里叶变换。,作业：,4.5傅里叶变换的性质,本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。,为简便，用表示时域与频域之间的对应关系，即,一、线性,若,则对于任意常数和，有,傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。,线性性质有两个含义：,1、齐次性它表明，若信号乘以常数（即信号增大倍），则其频谱函数也乘以相同的常数（则其频谱函数也增大倍）；,2、可加性它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。,二、奇偶性,下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。,如果是时间的实函数，那么根据：,其中频谱函数的实部和虚部分别为：,频谱函数的模和相角分别为：,1、若f(t)是时间t的实函数，则频谱函数的实部是角频率的偶函数，虚部是角频率的奇函数，是的偶函数，是的奇函数。,2、如果是时间的实函数，并且是偶函数，则,频谱函数等于，它是的实偶函数。,4、的傅里叶变换,考虑到是的偶函数，是的奇函数，故：,若f(t)是时间t的实函数,将以上结论归纳起来是：,如果是的实函数，且设,则有（1）,（2）,（3）,如果是的虚函数，则有,（1）,（2）,三、对称性,若则,证明:傅里叶逆变换式,将上式中的自变量换为，得,将上式中的换为，将原有的换为，得,上式表明，时间函数的傅里叶变换为。,例如，时域冲激函数的傅里叶变换为频域的常数；由对称性可得，时域的常数的傅里叶变换为，由于是的偶函数，故有,例4.5-1求取样函数的频谱函数。,解:我们已知，宽度为，幅度为的门函数的频谱函数为，即,取，即,则：,根据傅里叶变换的对称性质:,其波形如下图所示：,例4.5-2求函数和的频谱函数。,解（1）函数,我们已知：,由对称性并考虑到是的奇函数，可得：,由对称性并考虑到，得,根据线性性质，时域频域分别乘以得：,（2）函数,我们已知：,四、尺度变换（时频展缩）,尺度变换特性为：若,上式表明，若信号在时间坐标上压缩到原来的，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽倍，同时其幅度减小到原来的,称为尺度变换特性或时频展缩特性。,则对于实常数，有,令,则,当时,当时:,若令，得,五、时移特性（延时特性）,上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延时），其在频域中所有频率“分量”相应落后一相位，而其幅度保持不变。,令，则上式可以写为,同理可得：,证明：若，则延迟信号的傅里叶变换为,如果信号既有时移又有尺度变换则有：,设和为实常数，且.,例4.5-3如下图（a）所示的函数是宽度为的门函数,即其傅里叶变换，求图（b）和（c）中函数和的傅里叶变换。,解（1）图（b）中函数可写为：,根据傅里叶变换的线性和时移特性可得的傅里叶变换：,（2）图（c）中的函数是的压缩，可写为：,由尺度变换性质：,解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为，其频谱函数为，则图中的信号可表示为：,根据线性和时移特性，它的频谱函数为：,上式为等比数列，利用等比数列求和公式及欧拉公式得：,当（m=0，1，2，）时，,也就是说，在处，其频谱函数的幅度是的5倍，这是由于在这些频率处,5个单个脉冲的各频率“分量”同相的缘故。,另外，当（m为整数，但不等于5的倍数）时，式中分子为零，从而，这是由于5个单脉冲的各频率“分量“相互抵消的缘故。,当脉冲个数无限增多时（这时就成为周期信号），则除的各谱线外，其余频率“分量”均等于零，从而变成离散谱。,由图可见，当多个脉冲间隔为T重复排列时，信号的能量将向处集中，在该频率处频谱函数的幅度增大，而在其他频率处幅度减小，甚至等于零。,一般，若有N个波形相同的脉冲（N为奇数，中间一个，即第个位于原点），其相邻间隔为T，则其频谱函数为:,式中为单个脉冲的频谱函数。,六、频移特性,上式表明:将信号乘以因子,对应于将频谱函数沿轴右移;将信号乘以因子,对应于将频谱函数沿轴左移。,证明:,同理:,根据尺度变换，令，得,再由频移特性得,例4.5-5如已知信号的傅里叶变换为，求信号的傅里叶变换。,解:按的顺序求它们的傅里叶变换。,频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅，同步解调、混频等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：,它是将信号（常称为调制信号）乘以所谓载频信号或，得到高频已调信号，即,显然，若信号的频谱为，则高频已调信号或的频谱函数为：,例如，若是幅度为的门函数，则,七卷积定理,时域卷积定理,若,频域卷积定理,若,则,式中,则,例4.5-7求斜升函数和函数的频谱函数。,解:（1）的频谱函数,我们已知,根据频域卷积定理，可得的频谱函数,即,（2）的频谱函数,因为,而,利用线性性质可得,八、时域微分和积分,设,时域微分定理,若则,证明：,时域积分定理,证明：,这里,若,则,这个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导，求出其导数的傅里叶变换，再利用积分特性求出所求信号的频谱。,*在求某函数的傅立叶变换时，常常先将其求导，设其导数为，它的傅立叶变换为，再利用积分特性求得所求函数的傅立叶变换。但对某些函数，虽有，但有可能,例45-8求三角形脉冲的频谱函数。,图4.5-8f(t)及其导数,解:如图，将三角脉冲求两次导变成,首先思考两个问题：1、求导后再积分是不是原来的函数；（考察被求导信号在负无穷远点是否为零）2、在用积分特性时，被积信号的付里叶变换在频率为0时，其函数值是否为零。（考察被积分信号在整个时域积分值是否为零）,图4.5-8f(t)及其导数,设,则,例4.5-9求门函数的积分的频谱函数。,解：门函数的频谱为,由于，由式得,例4.5-10求下图(a)和(b)所示信号的傅里叶变换。,解:（1）方法一:,图（a）的函数为,图（b）的函数可写为,方法二:先求导,再积分的方法.,由图可见和的导数均如图（c）所示。,或者,根据,得:,九、频域微分和积分,频域微分：,频域积分：,式中,如果有，则有,证明：,频域微分：,证明：,频域积分：,例4.5-11求斜升函数的频谱函数。,解:单位阶跃信号及其频谱函数为,由式可得,例4.5-12求函数的频谱函数。,解:,由于，显然有,根据频域积分特性:,例4.5-13求的值。,解:,一般遇到这样的问题时，可考虑采用付里叶变换及逆变换在特殊点的值,本题求的值。,令(a0)，,若，则，于是得到,思考：,十、相关定理,(书上160页),相关定理是要考虑相关函数的傅里叶变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。,若,则,上式很容易证明。,若,则,结论：自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。,书上161页将傅里叶变换的性质归纳在表4-2中。,4.6能量谱和功率谱,(书上162页),信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一,此外还可用能量谱和功率谱来描述信号的频域特征。,一、能量谱:,若信号为实信号，则：,能量信号的能量在频域的分布状况可用能量谱来描述,称为能量谱密度，简称能量谱。用表示。,能量谱,上式称为帕斯瓦尔方程或能量等式。,能量谱,可见，信号的能量谱是的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相位无关。,即信号的能量谱与其自相关函数是一对傅里叶变换对。,二、功率谱对功率信号，信号功率在频域的分布状况可用功率谱密度来描述，简称功率谱，用表示。,如果信号功率有限，则称信号为功率信号，此时能量E无穷大。即:,为此，从中截取的一段，得到一个截尾函数，它是能量有限的信号。令则：,类似与能量谱密度，我们定义功率谱密度。,同理，根据功率信号自相关函数的定义，可得到与能量谱相同的结论：功率信号的功率谱与其自相关函数是一对傅里叶变换对。,例4.6-1图示RC低通电路，已知输入端电压，输出为电容两端的电压，求（1）的自相关函数和功率谱。（2）输出的功率谱，自相关函数和平均功率。,解：（1）,（2）求.,由时域分析可知：,令：,由卷积定理得：,对于功率谱同理可得：,（2）求.,（2）求.,4.7周期信号的傅里叶变换,一、正、余弦函数的傅里叶变换,二、一般周期函数的傅里叶变换(两种方法),三、傅里叶系数与傅里叶变换,主要内容,一、正、余弦函数的傅里叶变换,根据频移特性得,所以，正、余弦函数的傅里叶变换为,正、余弦信号的波形及频谱如下图所示,二、一般周期函数的傅里叶变换,一周期为的周期函数,方法一,上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率处，其强度为各相应幅度的倍。,例4.7-1求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。,解：,例4.7-2求周期性单位冲激函数序列的频谱。,解:,可见：时域中周期为的单位冲激序列，在频域中是周期为，强度为的冲激序列。其中,方法二,设周期信号，从该信号中截取一个周期信号，令其为。,这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法。,例4.7-3求周期性脉冲的频谱函数。,解：,三、傅里叶系数与傅里叶变换,可见，周期信号的傅里叶系数等于在处的值乘上。,傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。,例4.7-4将下图所示周期信号展开成指数型傅里叶级数。,解：,4.8LIT系统的频域分析,一、频率响应,前面我们花了大量时间讨论了信号的频域分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析。,二、无失真传输,三、理想低通滤波器的响应,一、频率响应,傅里叶分析是将信号分解为众多不同频率的虚指数函数之和（或积分），因此首先讨论虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态响应）。再讨论任意信号作用系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法；从而引出频域中反映系统特性的函数-频率响应（函数）。,1、研究虚指数函数作用于LTI系统所引起的响应(零状态）？,设,虚指数函数作用于LTI系统所引起的响应（零状态）是系数为的同频率的虚指数函数，仅是幅度及相位发生变化，但频率不变。,系统的冲激响应是,当激励为任意信号，由式得,2、讨论输入为任意信号时的响应？,若令响应的频谱函数为，则由上式得,频率响应函数（也称为系统函数）可定义为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即,令则有,3、频率响应的定义，幅频特性，相频特性？,称为系统的幅频特性（或幅频响应）,称为系统的相频特性（或相频响应）,是的偶函数，是的奇函数。,幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的倍数.,幅频特性和相频特性的物理含义:,相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小.,利用频域函数分析系统问题的方法，常称为频域分析法或傅里叶变换法。,4、频域分析？,时域分析与频域分析的关系如下图所示。,例4.8-1某LTI系统的幅频响应和相频响应如下图所示。若系统的激励，求系统的响应。,书上介绍了两种方法,一种是傅里叶级数法;一种是傅里叶变换法;但对于周期信号还有另外一种方法-正、余弦函数响应法。,解法三：正、余弦函数响应法,当激励为余弦函数时：,本题,例4.8-2描述某系统的微分方程为求输入时系统的零状态响应。,解:令，对方程取傅里叶变换，得,由上式可得该系统的频率响应函数,取傅里叶逆变换得,例4.8-3如下图所示的电路，若激励电压源为单位阶跃函数，求电容电压的零状态响应。,解:图中网络的频率响应函数（或称转移函数）为,式中。,例4.8-4如下图所示的系统，已知乘法器的输入系统的频率响应，求输出。,思路：先求出,解:由图可知，乘法器的输出信号，依频域卷积定理可知，其频谱函数,令，根据对称性可得,的频谱函数,取上式的傅里叶逆变换：,二、无失真传输,所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。,问：LTI系统的应满足什么条件，才能够实现无失真传输信号？,应满足：,幅频特性是常数；,相频特性是通过原点的直线（斜率的负值为延迟时间）,一般对限带信号而言，只要在信号有限带宽内满足该条件即可实现无失真传输。,三、理想低通滤波器的响应,具有如图所示的幅频特性和相频特性的系统理想低通滤波器。,或,-1,根据傅里叶变换的对称性可知，由,1、理想低通滤波器的冲激响应,理想低通滤波器的冲激响应是频率响应函数的傅里叶逆变换，因此，理想低通滤波器的冲激响应：,再由时移特性，得理想低通滤波器的冲激响应：,-1,其波形如下图所示。由图可见，理想低通滤波器的冲激响应的峰值比输入的延迟了。,思考：为什么理想低通的冲激响应会是取样函数的形式？当增大，对响应有何影响？响应趋于什么形式？,2、理想低通滤波器的阶跃响应,令正弦积分，,下面就来画出阶跃响应的波形。,先画出，再做尺度变换得到最后画出。,正弦积分，,图4.7-7理想低通滤波器的冲激响应及阶跃响应,下面我们讨论几个问题:上升时间;最大值;吉布斯现象;因果性;,可见，滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭。,1、阶跃响应的上升时间与系统的通带宽度成反比。,它与滤波器的通带宽度无关。因此，增大滤波器的通带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近处。,3、当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时，如果原信号包含间断点，那么，在各间断点处，其恢复的信号将出现过冲，这种现象称为吉布斯现象。,4、理想低通滤波器是物理不可实现的。,2、,理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。（书上184页）,为了能根据系统的频率响应函数判断系统是否物理可实现的，就希望找到物理可实现系统特性所满足的条件。,时域来说：,称为佩利维纳准则。,且,频域来说：,称为佩利维纳准则。,可见，如果系统的幅频特性在某一有限频带内为零，则在此频带范围内，从而不满足上式，这样的系统是物理不可实现的。,4.9取样定理,取样定理论述了在一定的条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。这就给连续信号的数字化传输和处理提供了理论依据。,下面我们就从信号的取样出发，讨论信号取样后时域和频域的变化？从而看到为了能从取样后的信号恢复原来的信号，应满足的条件。在恢复原信号的过程中，时域和频域又发生了什么变化，恢复原信号的实质是什么？从而引出取样定理。,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用周期性脉冲序列s(t)从连续信号中“抽取”一系列离散样本值的过程。由此得到的离散信号称为取样信号。,我们来看一下取样过程中时域波形的变化。,可见取样信号,称为取样周期。,称取样角频率。,称取样频率。,均匀取样.,图4.8-2冲激取样,1、冲激取样(1)图示,（假设是带限信号）,若或(为原信号的最高频率），则被抽样后信号的频谱不会发生频谱混叠,因此可以由抽样后的信号设法恢复原来的连续信号,若（），则会发生频谱重叠现象，无法恢复原来的连续信号。,因此为了不发生频谱混叠现象必须满足：采样频率必须大于信号最高频率的两倍.即:,或,可见，连续信号在时域进行抽样，频域就会将连续信号的频谱以抽样角频率为周期，周期延拓。,(2)理论分析,可见,时域的抽样,在频域将连续信号的频谱以抽样角频率为周期,进行周期延拓，强度变为原来的1/TS。,图4.8-4矩形