D87方向导数与梯度_第1页
D87方向导数与梯度_第2页
D87方向导数与梯度_第3页
D87方向导数与梯度_第4页
D87方向导数与梯度_第5页
已阅读5页，还剩15页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第七节方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,三、场的概念,一、方向导数,定义:,则称其值,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处沿方向l(方向角为,存在下列,记作,极限:,若函数,方向导数与偏导数的关系,当l与x轴同向时,存在.,同理,偏导数存在时,若偏导数存在,即,l与y轴同向时,即为沿坐标轴正方向的方向导数,但如果方向导数存在，偏导数却未必存在,如函数,在点,沿任意方向l,但该点偏导数不存在！,函数在一点沿任意方向方向导数存在，不一定可微！,定理:,沿任意方向l的方向导数都存在,证明:,且,在点P可微,得,则函数在该点,由函数,对于三元函数,处沿方向l,在点,例1求函数,在点P(1,1,1)沿向量,的方向导数.,解:,例2求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:,它在点P的切向量为,将已知曲线用参数方程表示为,例3设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,f增长最快的方向,1定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,向量,注:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,2梯度的几何意义,称为函数f的等值线或等高线.,则L*上点P处的法向量为,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点P处的法向量为,称为,时为零时,曲线,例4设函数,解:,在点P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数f在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,(1)点P处切平面的法向量为,例5,证明:,试证:,三、场的概念,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电势场等,如:力场,速度场等,(势场),注:,任意一个向量场不一定是梯度场.,例6,已知位于坐标原点的点电荷q在任意点,试证,证明:,这说明场强:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向.,利用例5的结果,内容小结,1方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,梯度的特点,练习1,函数,在点,处的梯度,解:,(1992考研
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论