matlab在线性代数和高等数学中的应用

第三讲Matlab在微积分和线性代数中的应用,主要内容,1.高等数学微积分中的应用2.线性代数中的应用3.常微分方程的符号解4.概率论分析中的应用,1、高等数学微积分中的应用,1.1导数、极值和积分、Taylor公式,1.极限运算,注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，MATLAB的默认状态是求右极限。,1.极限运算,注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，MATLAB的默认状态是求右极限。,1.1导数、极值和积分、Taylor公式,例.求极限与极限symsx;y1=(1+4*x)(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;limit(y1,x,0)limit(y2,x,0),例.求极限symsx;y=sqrt(x)-2(-1/x);limit(y,x,0,right),2.求导运算（1）一元函数的求导diff(f)diff(f,n),例.求函数的二阶导数symsx;f=3*x3+5*x+1;diff(f,2),例.设，求symsx;y=3*x2-2*x+1;B=diff(y),x=1;eval(B),（2）多元函数的偏导数diff(f,xi)diff(f,xi,n),例12.求关于x的偏导数。symsxy;z=x2*sin(2*y);B=diff(z,x),3.积分运算（1）一元函数的不定积分int(f)求函数f对默认变量的不定积分，用于函数只有一个变量的情况int(f,v)求符号函数f对变量v的不定积分,例.计算symsx;y=1/(sin(x)2*cos(x)2);int(y)pretty(int(y),例.计算symsxz;B=int(x/(1+z2),z),（2）一元函数的定积分int(f,x,a,b)用微积分基本公式计算定积分,例.求symsx;y=(x2+sin(x)/(1+x2);int(y,x,-1,1),（3）多重积分运算int(int(f,y),x)计算不定积分int(int(f,y,c,d),x,a,b)计算不定积分,例.计算symsxy;int(int(x2+y2+1,y,x,x+1),x,0,1),4.函数的Taylor展开taylor(f)将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林(Maclaurin)公式taylor(f,n)将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式taylor(f,n,v,a)将函数f(v)在v=a处展开成n阶Taylor公式,例.将函数展开为x的6阶麦克劳林(Maclaurin)公式symsx;f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2);taylor(f),例.将函数展开为关于(x-2)的最高次为4的幂级数symsx;f=1/x2;taylor(f,4,x,2);pretty(taylor(f,4,x,2),1.2数值微分与数值积分在MATLAB中的实现,数值微分数值微分是用离散的方法近似地计算函数y=f(x)在某点x=a处的导数值，通常仅当函数以离散数值形式给出时才有这种必要。diff(x),1.2数值微分与数值积分在MATLAB中的实现,2.用数值方法计算定积分(1)复合梯形公式trapz(x,y)(2)复合辛普生公式quad(fun,a,b,tol,trace)quadl(fun,a,b,tol,trace),例.用复合梯形公式和复合辛普生公式求symsx;x=2:0.1:5;y=log(x)./(x.2);t=trapz(x,y);ff=inline(log(x)./(x.2),x);q=quad(ff,2,5);disp(blanks(3)梯形法求积分blanks(3)辛普生法求积分),t,q,(3)用数值方法计算二重积分dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)计算二重积分,例.计算，其中D是由y=1,x=4,x=0,y=0所围成的区域Q=dblquad(inline(x*y),0,4,0,1),1.3线性方程和非线性方程在MATLAB中的各种求解方法,求多项式方程的根roots(p)solve(p),例.求方程的所有根p=1-49-10r=roots(p)或s1=sym(x3-4*x2+9*x-10);solve(s1),2.求超越方程的根例.求方程的根，其中p，r为常数ff=sym(p*sin(x)=r)solve(ff,x),solve命令还可以用来求解方程组例.求方程组的根x,y=solve(x+y=1,x-11*y=5,x,y),求和(1)向量或矩阵求和sum(x)求向量x的和或者是矩阵每一列向量的和,例.a=1:5;A=123;234;789;sum(a)sum(A),1.4MATLAB中求和及求极值方法,(2)级数求和symsum(s,v,a,b)对表达式s的符号变量v从v=a到v=b进行求和,例.求symskn;f=k3;symsum(f,k,0,n-1),例.求symsxk;symsum(xk/sym(k!),k,0,inf),2.求函数的极值点(1)求一元函数的极值问题fminbnd(fun,x1,x2)在区间x1,x2内求函数fun的极小值点,例.f=inline(sin(x)+3);x=fminbnd(f,2,5),(2)求多元函数的极值问题fminsearch(fun,x0)用单纯形法求多元函数fun在x0附近的极值点fminunc(fun,x0)用拟牛顿法求多元函数fun在x0附近的极值点,函数插值(1)一维插值Y1=interp1(x,y,X1,method)功能：根据已知的数据(x,y)，用method方法进行插值，然后计算X1对应的函数值Y1.,1.5函数插值与曲线的拟合,(1)一维插值,例.对，用11个节点作三种插值，并比较其结果.x0=-5:0.5:5;y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.2:5;y1=interp1(x0,y0,x,linear);y2=interp1(x0,y0,x,spline);y3=interp1(x0,y0,x,nearst);subplot(2,2,1),plot(x0,y0,r-p),title(y=1/(1+x2);subplot(2,2,2),plot(x0,y0,r-,x,y1),title(linear);subplot(2,2,3),plot(x0,y0,r-,x,y2),title(spline);subplot(2,2,4),plot(x0,y0,r-,x,y3),title(nearst);,(2)二维插值Z1=interp2(x,y,z,X1,Y1,method)功能：根据已知的数据(x,y,z)，用method方法进行插值，然后计算(X1,Y1)对应的函数值Z1.,2.曲线的拟合(1)多项式拟合p,s=polyfit(x,y,n)功能：对于已知的数据组x,y进行多项式拟合，拟合的多项式的阶数为n，其中p为多项式的系数矩阵，s为预测误差估计值的矩阵。,例.x取0至1之间的数，间隔为0.1；y为2.3，2.5，2.1，2.5，3.2，3.6，3.0，3.1，4.1，5.1，3.8，分别用二次、三次、和七次拟合曲线来拟合这组数据，试观察三组拟合曲线哪个效果最好。clf;x=0:0.1:1;y=2.3,2.5,2.1,2.5,3.2,3.6,3.0,3.1,4.1,5.1,3.8;p2=polyfit(x,y,2);p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);,disp(二次拟合曲线),p2disp(三次拟合曲线),p3disp(七次拟合曲线),p7x1=0:0.1:1;y2=polyval(p2,x1);y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,rp,x1,y2,-,x1,y3,k-,x1,y7)legend(拟合点,二次拟合,三次拟合,七次拟合),(2)非线性最小二乘拟合leastsq(f,x0)f是M函数文件,例30.用表中的一组数据拟合中系数r，k，并给出图像。,建立函数文件ct.mfunctiony=ct(x)t=0.250.511.523468c=19.2118.1515.3614.1012.989.327.455.243.01y=c-x(1)*exp(-x(2).*t)(2)建立命令文件x0=10,0.5x=leastsq(ct,x0)tt=0:0.2:8yy=x(1).*exp(-x(2).*tt)plot(tt,yy,-rp),2、线性代数中的应用,2.1MATLAB中向量和矩阵的基本运算,设A、B为两个矩阵A+B，A-Bk*AA*BAB左除A-1B，A必须为方阵A/B右除AB-1，B必须为方阵det(A)求|A|，A必须为方阵inv(A)或A-1AnA或transpose(A)rank(A)rref(A)矩阵行变化化简，求矩阵A阶梯形的行最简形式,例.计算,例.求矩阵的转置、逆和行列式。symsabcd;A=ab;cd;Ainv(A)det(A),例.求矩阵的秩与行最简形。,2.2矩阵的变换与分解及其在MATLAB中的实现,矩阵的对角元素(1)函数diag可以将一个矩阵的对角元素提取出来diag(A)由矩阵A的对角线元素得到一个列向量,例.A=pascal(3)diag(A),(2)用该函数来产生第k阶对角线上的元素diag(A,k)其中，k=0表示主对角线；k0表示在主对角线以上；k0表示在主对角线以下。,例.a=123A=diag(a,0),B=diag(a,1),C=diag(a,-1),(3)函数blkdiag可以根据输入创建一个分块对角矩阵S=blkdiag(a,b,c,)功能：根据输入的a,b,c等参数构造一个分块对角矩阵,例.a=1;b=12;34;c=9;d=1-1;2-2;3-3S=blkdiag(a,b,c,d),2.矩阵的分解矩阵的奇异值分解s=svd(A)U,S,V=svd(A)U,S,V=svd(A,0)(2)矩阵的LU分解L,U=lu(A)(2)矩阵的QR分解Q,R=qr(A)(2)矩阵的Cholesky分解C=chol(A),2.3MATLAB中矩阵特征值和特征向量的求解方法,矩阵的特征值与特征向量d=eig(A)返回方阵A的全部特征值组成的特征向量dV,D=eig(A)返回矩阵A的特征值D与特征向量矩阵V，满足AV=VDpoly(A)求矩阵A的特征多项式,例.求矩阵的特征多项式、特征值和特征向量。A=460;-3-50;-3-61P=poly(A)V,D=eig(A),注：求矩阵A的特征根D=roots(poly(A)。,例.求一个正交变换将二次型化为标准型A=110-1;11-10;0-111;-1011P,D=eig(A)symsx1x2x3x4;X=x1;x2;x3;x4Y=P*X,2.矩阵的相似对角化,例.化上述矩阵A为对角阵。D=V-1AV,2.4线性方程组的直接求解法在MATLAB中的实现,齐次线性方程组的直接求解法,例.用基础解系表示齐次方程组的通解。A=11111;3211-3;01226;5433-1;B=null(A,r);symsk1k2k3;x=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3),34,2.非齐次线性方程组的直接求解法（1）求逆法对AX=B，若|A|不等于0，则解由inv(A)*B获得（2）左除法与右除法,例.求非齐次线性方程组的通解。A=2314;1-24-5;38-213;4-19-6;rref(A),3.符号方程组的求解方法（1）线性方程组AX=B的符号解X=linesolve(A,B)只给出特解,例.求的解。symsabc;A=a00;0b0;B=1;cX=linesolve(A,B),（2）非线性方程组的符号解x1,x2,x3,=solve(e1,e2,e3,),例解e1=sym(a+b+x=y);e2=sym(2*a*x-b*y=-1);e3=sym(2*(a+b)=x+y);e4=sym(a*y+b*x=4);a,b,x,y=solve(e1,e2,e3,e4),3常微分方程的符号解,3常微分方程的符号解,r=dsolve(eqn1,eqn2,.,var)r=dsolve(eqn1,eqn2,.,var)功能：求微分方程或微分方程组的通解,r=dsolve(eqn1,eqn2,.,cond1,cond2,.,var)r=dsolve(eqn1,eqn2,.,cond1,cond2,.,var)功能：求微分方程(组)满足初始条件的特解,在Matlab中，约定D1表示一次微分，D2表示二次微分，依此类推，Dn表示n次微分，符号Dy相当于Dy/Dt，默认自变量为t。,例1求解一阶微分方程及x=0时的特解。dsolve(Dy=1+y2,x)dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x),例2求解二阶微分方程dsolve(x2*D2y+x*Dy+(x2-1/2)*y=0,y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi,x),4概率论基础知识及其在MATLAB中的实现,3.1随机事件及其概率,rand(N)返回一个NN的随机矩阵rand(N,M)返回一个NM的随机矩阵rand(P1,P2,Pn)返回一个P1P2Pn的随机矩阵round(X)对向量或矩阵X的每个分量四舍五入取整fix(x)对x朝零方向取整floor(x)对x朝负无穷大方向取整ceil(x)对x朝正无穷大方向取整,二项分布binopdf(X,N,P)计算二项分布的密度函数binocdf(X,N,P)计算二项分布的累积分布函数binoinv(X,N,P)计算二项分布的逆累积分布函数binornd(N,P,m,n)产生服从二项分布的mn阶随机矩阵binostat(N,P)求二项分布的数学期望与方差,3.2随机变量的分布及其数学特征,4概率论基础知识及其在MATLAB中的实现,2.泊松分布poisspdf(X,LMD)poisscdf(X,LMD)poissinv(Y,LMD)poissrnd(LMD,m,n)poisstat(LMD),3.超几何分布hygepdf(M,n,k,N)hygecdf(M,n,k,N)hygeinv(P,n,k,N)hygernd(n,k,N,mr,mc)hygestat(n,k,N),4.均匀分布unifpdf(X,A,B)unifcdf(X,A,B)unifinv(P,A,B)unifrnd(A,B,m,n)unifstat(A,B),5.指