li84曲面及其方程

高等数学,第八章,第四节曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,曲面方程的定义,如果曲面S与三元方程F(x,y,z)0有下述关系:,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,关于球面方程的说明:,解,例如：,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4方程的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，建立曲面方程,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:,给定yoz面上曲线C:,曲线C,C,绕z轴,曲线C,C,绕z轴,.,曲线C,旋转一周得旋转曲面S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕z轴,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),.,S,曲线C,旋转一周得旋转曲面S,C,S,M,N,z,P,.,绕z轴,.,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),f(y1,z1)=0,f(y1,z1)=0,.,S,旋转曲面的方程的一般结果：,解,例1,绕z轴：,解,例2,绕y轴：,圆锥面,绕z轴：,解,例2,圆锥面,点O称为圆锥的顶点,例3试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L的方程为,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,练习,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，,求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在xoy面上，,表示圆C,平行于z轴的直线沿曲线C平移所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,柱面举例：,抛物柱面,平面,圆柱面,从柱面方程看柱面的特征：,所以,/轴,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,准线xoz面上的曲线l3.,母线,柱面,准线xoy面上的曲线l1.,母线,准线yoz面上的曲线l2.,母线,其他情形类似:,实例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,双曲柱面/轴,例1,解,1、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角坐标系中分别表示什么图形？,练习题,平面中,空间中,方程,直线,平面,圆,圆柱面,直线,平面,椭圆,椭圆柱面,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及其方程的求法，常见旋转曲面及其方程;,柱面的概念，常见柱面及其方程.,小结与教学基本要求:,掌握:,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的轴,该曲线叫旋转曲面的母线.,所成的曲面称为旋转曲面.,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所