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,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,以2l为周期的函数的,傅里叶展开,机动目录上页下页返回结束,第十二章,一、以2l为周期的函数的傅里叶展开,周期为2l函数f(x),周期为2函数F(z),变量代换,将F(z)作傅氏展开,f(x)的傅氏展开式,机动目录上页下页返回结束,设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在f(x)的连续点处),其中,定理.,机动目录上页下页返回结束,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在F(z)的连续点处),变成,是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束,其中,令,机动目录上页下页返回结束,(在f(x)的连续点处),证毕,(在F(z)的连续点处),机动目录上页下页返回结束,说明:,其中,(在f(x)的连续点处),如果f(x)为偶函数,则有,(在f(x)的连续点处),其中,如果f(x)为奇函数,则有,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,收敛于,傅里叶级数,例1.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有,机动目录上页下页返回结束,(2)将,作偶周期延拓,则有,机动目录上页下页返回结束,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,机动目录上页下页返回结束,当函数定义在任意有限区间上时,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,机动目录上页下页返回结束,例3.将函数,展成傅里叶级数.,解:令,设,将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.,由于F(z)是奇函数,故,则它满足收敛定,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,为正弦级数.,内容小结,1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式,(x间断点),其中,当f(x)为奇函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?,答:用系数公式计算,如分母中出现因子nk,从而便于计算系数和写出,收敛域.,必须单独计算.,习题课目录上页下页返回结束,备用题,期的傅立叶级数,并由此求级数,(91考研),解:,为偶函数,因f(
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