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第五节函数的微分,一、微分的定义,二、微分公式与运算法则,三、微分的意义与应用,一、微分的定义1、引例,：一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0+x,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,当x在x0取得增量x时,面积的增量为,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2、微分的定义,定义,3、可微的条件,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,解,例2,几点说明：,(微分的实质),二、微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,例如,1.基本初等函数的微分公式P113,2.函数线性组合、积、商的微分法则P113,3、复合函数的微分,一阶微分形式不变性,结论：,一阶微分形式的不变性,例1,解法一,解法二,例2,解,例3,例4,例5,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,练习：,(C为任意常数),(C为任意常数),说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,例6,解,在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,三、微分的意义与应用,M,N,）,1、微分的几何意义,(如图),2、近似计算,得近似公式,（f(x)在x=x0处的一次近似式或线性逼近）,或,使用原则:,工程技术上常用的五个一次近似式，在课本116页,还有该页例7请同学们自己看。,例1,例2,例2,解设,取,则,四、小结,1、微分的概念,2、导数与微分的联系:,3、微分运算法则,微分形式不变性:,4、微分的应用,近似计算,(u是自变量或中间变量均可),1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,思考与练习,解,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,补充说明：,1、微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与
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