分式方程竞赛题.doc

第一讲 分式方程 (组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大 (或缩小 )未知数的取值范围，故必须验根例 1 解方程1 1 1+ + =0 2 2 2x 11x 8 x 2x 8 x 13x 8 22x8，那么原方程为解 令 yx 1 1 1 + + =0y 9 y y y 15x去分母得y(y15x)(y9x)( y15x)y( y9x)0，2 2y4xy45x 0，(y5x)( y9x)0，所以 y9x 或 y 5x2 2由 y9x 得 x 2x89x，即 x 7x80，所以 x11，x28；2 2由 y5x，得 x 2x8 5x，即 x 7x80，所以 x38，x41经检验，它们都是原方程的根例 2 解方程272x 72x 4x 72x 72 180 22x 1 x 4x x 4x180解 设 y2 4x xx 1，则原方程可化为 y72y180218y720， y所以 y16 或 y212当 y6 时，2x 4xx 1=62 2，x 4x6x6，故 x 2x60，此方程无实数根当 y12 时，2 4x xx 1=12，x 24x12x12，故 x28x120,故 x28x120，24x12x12，故 x28x120,故 x28x120，所以 x12 或 x26经检验， x12，x26 是原方程的实数根例 3 解方程2x 6 3x 10 x 4 2x 12x 1 x 3x 2 x 20分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为5 x 2 31+ (3 ) 2 02x 1 x 3x 2 x 2，整理得5 3 x 22x 1 x 2 x 3x 20，去分母、整理得x90，x9经检验知， x9 是原方程的根例 4 解方程 x 1 x 6 x 2 x 5 + = x 2 x 7 x 3 x 6分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为 1 1 1 11 1 1 1 x 2 x 7 x 3 x 6，1 1 1 1x 6 x 7 x 2 x 3即1 1=(x 6)( x 7) (x 2)( x 3)，所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得 x92经检验 x92是原方程的根例 5 解方程 1 1 1 11 + = x(x 1) x(x 1) (x 9)( x 10) 12分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为1 1 1 1 1 1 11x 1 x x x 1 x 9 x 10 12，整理得1 1 11x 1 x 10 12去分母得2x9x220，解得 x12，x211经检验知， x12，x211 是原方程的根例 6 解方程2 22x 3x 2 2x 5x 3=2 22x 3x 2 2x 5x 3分析与解 分式方程如比利式abcd，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简原方程变形为2 2 2 2(2 x 3x 2) (2 x 3x 2) (2 x 5x 3) (2 x 5x 3)=2 22x 3x 2 2x 5x 3，2 24x 4x=2 22x 3x 2 2x 5x 3，所以2 2 3x22x 5x3x0 或 2x解得 x0 或 x18经检验， x0 或 x18都是原方程的根例 7 解方程2 23x 4x 1 x 4x 1=2 23x 4x 1 x 4x 1分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为2 2 2 2(3x 4x 1) (3x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1)=2 2 2 2(3x 4x 1) (3x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1)即 2 26x 2 2x 2 =8x 8x当 x0时，解得 x1经检验， x1 是原方程的根，且 x0 也是原方程的根说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验像1 1x ax a这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程， 因而至多有两个根 显然 a1 时，x1a与 x21a就是所求的根例如，方程x1 1 3x 3，即x1 1 3x 3，所以 x13，x213例 8 解方程2 2x x 1 2x x 2 19+ = 2 2x 1 x x 1 6解 将原方程变形为2 2x x 1 x 1 2 3+ = +2 2x 1 x x 1 3 2，设y2x x2x11，则原方程变为32y1 2 3y 3 2 2 3解得 y1 ， y2 3 2当2x x2x1 2 =1 3时， 3 5x ； 2当2x x2x1 3 =1 2时，x1；经检验 x1 及 x3 52均是原方程的根例 9 解关于 x 的方程a x b x+ =2b x a x12解 设 y a xb x，则原方程变为y1 1 2y 2所以 y12 或 y212a x由 =2b x，得 x1a2b；由a xb x=12，得 x2b2a将 x1a2b 或 x2b2a 代入分母 bx，得 ab 或 2(ba)，所以，当 ab 时，x1a2b 及 x2b2a 都是原方程的根当 ab 时，原方程无解例 10 如果方程x x 2 2x a + + =0x 2 x x( x a)只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得22x(a4)0 2x原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是： (1)方程有两个相等的实数根，即442( a4)0解得 a 72此时方程的两个相等的根是 x1x212（2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为 0 或 2（i）当 x0 时，代入式得 a40，即 a4这时方程的另一个根是 x1(因为 2x22x0，x(x1)0，x10 或 x21而 x10 是增根 )它不使分母为零，确是原方程的唯一根（ii ）当 x2 时，代入式，得2422(a4)0，2即 a8这时方程的另一个根是 x1(因为 2x 2x40(x2)( x1)0，所以 x12(增根 )，x21)它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a 的值分别是72，4，8，其对应的原方程的根一次为12，1， 1练习一1填空：（1）方程xx1 1 108 2的一个跟是 10，则另一个跟是 _（2）如果方程2 1x bx m=ax c m 1有等值异号的根，那么 m_（3）如果关于 x 的方程1 k 5 k 1+ =2 2 2x x x x x 1有增根 x1，则 k_（4）方程x 1 x 1 10 + =x 1 x 1 3的根是 _2解方程4x 5x 3+ 03 2 3 2x 2x x x 2x 5x 23解方程3 3x 2 x 2+ =22 2x x 1 x x 1x