计算机控制系统的基本设计方法

计算机控制系统,Computer-ControlledSystem,电力学院自动化系张计科,1,3.3状态空间设计法,第三章计算机控制系统的基本设计方法,2,一、连续控制对象模型的离散化,3.3状态空间设计法,1、不带延时的连续控制对象模型的离散化：,若忽略量化效应，计算机控制系统即为采样控制系统。,若将连续控制对象连同它前面的零阶保持器一起进行离散化，则采样控制系统即可简化为纯粹的离散系统来分析和设计。,3,设连续时间系统的状态方程和输出方程,零阶保持器,一、连续控制对象模型的离散化,3.3状态空间设计法,1、不带延时的连续控制对象模型的离散化：,4,取,且,令,一、连续控制对象模型的离散化,3.3状态空间设计法,1、不带延时的连续控制对象模型的离散化：,5,一、连续控制对象模型的离散化,4.1基于状态空间模型的极点配置设计法,不带延时的连续控制对象模型的离散化：,6,二、矩阵指数及其积分的计算,3.3状态空间设计法,拉普拉斯反变换法：,定理：,其中：,和可由下列迭代公式算出,Leverrier-Faddeeva算法,7,二、矩阵指数及其积分的计算,3.3状态空间设计法,1、拉普拉斯反变换法：,可先对方括号内的有理分式进行部分分式展开，然后再求出各部分分式的反变换。,计算复杂。,在有些情况下计算定常系统转移矩阵的解析解时，是一种比较好的方法。,8,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题，实质上是对经典控制理论综合方法的一个推广。,系统性能和品质在很大程度上取决于系统极点的位置。通过将极点置于特定的位置，使系统性能和品质达到满意的程度。,经典控制：通过附加微分、积分等环节构成校正系统等方法对系统极点进行配置。,现代控制：利用状态反馈对系统极点进行任意配置。,9,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,多数控制系统都采用基于反馈构成的闭环结构。,反馈系统的特点是对内部参数变动和外部环境影响具有良好的抑制作用。,反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。,10,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,状态反馈,原系统：,11,控制规律为线性状态反馈：,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,状态反馈,原系统：,将式代入式得状态反馈闭环系统：,12,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,状态反馈,原系统：,状态反馈闭环系统：,闭环系统特征方程：,闭环系统特征方程：,引入状态反馈的结果，使系统极点发生变化。,13,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,输出反馈,原系统：,输出反馈闭环系统：,闭环系统特征方程：,闭环系统特征方程：,引入输出反馈的结果，同样会使系统极点发生变化。,14,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,输出反馈,原系统：,输出反馈闭环系统：,闭环系统特征方程：,闭环系统特征方程：,引入输出反馈的结果，同样会使系统极点发生变化。,15,两者不具有等同改变系统结构特性的功能。输出反馈可达到的功能必可利用相应的状态反馈实现；反之，通常不成立。,由于输出信息中所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以，输出反馈是部分状态反馈，性能较状态反馈差。,两种反馈形式的引入，不会增加新的状态变量，不改变系统维数，但可以改变系统的特征值来达到性能要求。,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,状态反馈和输出反馈的比较:,输出反馈是在物理上可构成的；状态反馈一般是在物理上不能构成的。,16,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,期望闭环极点作为性能指标具有二重属性：,从控制理论角度看，以期望闭环极点作为性能指标，可以严格和简洁地建立相应综合理论和算法；,从控制工程角度看，期望闭环极点由于缺乏直观工程意义，因而不为控制工程界所认同和采用。,可通过时间域性能指标或频率域性能指标建立起工程直观性能指标与期望闭环极点对应的关系。,17,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,1、原理：,二阶系统时间域性能指标公式：,18,系统通过状态反馈能够任意配置极点的充要条件是：系统具有状态完全能控性。,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,系统状态完全能控的充要条件：,例1已知离散状态方程,试分析系统的状态能控性,解:,系统状态完全能控,19,例2已知离散状态方程,试分析系统的状态能控性,解,系统状态不完全能控,系统通过状态反馈能够任意配置极点的充要条件是：系统具有状态完全能控性。,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,系统状态完全能控的充要条件：,20,根据连续系统系统性能指标确定在s平面中的极点分布；,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,设计步骤：,二阶系统：,高阶系统：,可采用二阶模型，按性能要求确定一对闭环主导极点，然后其余极点放置在离主导极点很远的地方。,21,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,设计步骤：,根据的关系确定在z平面中对应的极点分布；,计算反馈矩阵L。,22,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,设计步骤：,计算反馈矩阵L。,对于n阶系统，最多需要配置n个极点。单输入系统状态反馈增益L矩阵为1n维，其中的n个元素可以由n个闭环特征值要求惟一确定。,23,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,2、离散状态反馈极点配置系统设计,设计步骤：,计算反馈矩阵L。,对于多输入系统，L阵是mn维，如果只给出n个特征值要求，L阵中有m(n-1)个元素不能惟一确定，必须附加其他条件，如使L最小，得到最小增益阵；给出特征向量要求，使部分状态量解耦等。事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、最优控制等现代多变量控制方法设计。,24,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,3、状态反馈增益阵L的计算,直接计算矩阵法（系统匹配法）,假设要求闭环系统（状态反馈后）期望的极点为,则经过状态反馈后系统的期望的闭环特征多项式为,原系统（状态反馈前）闭环特征方程为,25,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,3、状态反馈增益阵L的计算,直接计算矩阵法（系统匹配法）,而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多项式为,26,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,卫星通常需要借助三轴姿态控制来确保其天线和各种传感器相对地球保持合适的方位。试用极点配置设计法设计单轴卫星姿态控制器，使得闭环姿态控制系统具有等效于s平面上阻尼比=0.5和特征根实部为-1.8rad/s的连续系统特性。已知卫星单轴姿态控制的开环传递函数（不考虑干扰项）为设采样周期为T=0.1s。,27,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,解：定义状态变量,得到连续系统状态方程,若将连续控制对象连同它前面的零阶保持器一起进行离散化，得到等效的离散系统状态方程,28,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,利用前面介绍的算法，不难求得,根据对闭环响应性能的要求，可求得期望闭环主导极点在s平面上的分布,系统状态完全能控,29,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,利用的关系，不难求得离散系统期望特征根,先用直接计算矩阵法（系统匹配法）计算状态反馈增益阵L,则闭环系统期望特征方程为,设状态反馈增益阵,30,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多项式为,对应项系数相等，可得,解之，得,31,三、按极点配置设计控制规律,3.3状态空间设计法,4、设计举例,32,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,1、问题提出,上节讨论按极点配置设计控制规律时，假设所有的状态可由传感器测量直接用于反馈来形成满足要求的控制向量。,在多数情况下，系统中只有小部分状态可用传感器直接测量，甚至只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量。,有必要估计出那些无法直接测量的状态变量，这样的估计通常称为“观测”。,33,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,F,开环观测器,只要控制对象是稳定的，即F的特征值均在单位圆内，即使,经过一段时间后也将有,34,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,F,开环观测器,状态重构误差的动态特性取决于系数矩阵F，也即取决于对象的动态特性，而不能按照需要进行调整。当F具有不稳定的特征根时，根本不能采用开环观测器；,开环观测器只是利用了输入量及模型的参数来进行预报，而没有利用可以量测到的输出量来进行修正。,35,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,状态重构误差方程,36,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,状态重构误差方程,即使原来的F矩阵具有不稳定的特征根，也能通过适当选取K，以使得状态重构误差具有满意的性能。,状态重构误差的动态特性取决于矩阵F-KC，若F-KC的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差，都将快速收敛到零。只要适当地选择增益矩阵K便可获得要求的状态重构性能；,37,如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程（状态重构误差的特征方程）,为了获得所需要的状态重构性能，应有,通过比较两边z的同次幂的系数，则一共可得到n个代数方程。,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,38,如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程（状态重构误差的特征方程）,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,对于多输出（r1）的情况，增益矩阵K共有nr个未知元素，而总共只有n个方程，仅根据上式并不能完全确定K，需要同时附加其他的限制条件才能确定K。,对于单输出（r=1）情况，K中未知元素个数与代数方程个数n相等，一般可求出K的唯一解。,39,如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程（状态重构误差的特征方程）,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,对于任意的极点配置，K具有唯一解（状态观测器存在）的充分必要条件是系统状态完全能观测。,系统状态完全能观测的充要条件,40,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,由于矩阵转置后其行列式不变，因此上式可重写为,将上式与对比，并建立如下的对应关系式,参考的阿克曼（Ackerman）公式,41,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,不难求得,将上式两边转置，得,系统能观性矩阵,42,例单轴卫星姿态控制系统离散状态方程,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的两个根配置在原点，即。,解：,43,一法：通过比较对应项系数,得,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,2、预报观测器,二法：利用由阿克曼（Ackerman）公式推导公式求解,44,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,3、现时观测器,当采用观测器结构时,实际的控制信号u(k)直接反馈的是状态重构，而不是真实状态。,预报观测器现时的状态重构只用到了前一时刻的输出量，也即在现时的控制信号中只包含前一时刻输出量的信息，输出信号将不能得到及时的反馈。采样周期较长时，这种控制方式影响系统的性能。,45,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,3、现时观测器,现时观测器方程,在具体实现上述现时观测器时,由于上式的计算总是需要一定时间，因此实际送出的控制信号总是比量测量要延迟一段时间。,只有延时与采样周期T相比很小时，采用现时观测器才是合适的，否则应采用预报观测器。,46,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,3、现时观测器,现时观测器方程,状态重构误差方程：,47,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,3、现时观测器,现时观测器特征方程：,对照预报观测器特征方程及其利用阿克曼（Ackerman）公式推导K的解矩阵，得：,48,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,3、现时观测器,解：,例单轴卫星姿态控制系统离散状态方程,假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的两个根配置在原点，即。,49,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,前面讨论的观测器都是根据输出量重构出全部状态，观测器的阶数等于状态个数，属于全阶状态观测器。,如果测量的部分状态包含有严重的噪声，则可通过全阶观测器重构出全部状态，利用观测器进行滤波，减少噪声干扰。,如果能量测的状态只是其中一部分，则这些状态没必要进行重构，只需要根据能量测得部分状态重构其余不能量测的状态，即只需构造降阶观测器。,50,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量的，一部分是需要重构的。,被控对象的离散状态方程可以分块表示为,即,也即,51,上式与比较，得,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,52,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,（k+1）时刻的状态重构也用到了（k+1）时刻的量测量，实质上是降阶的现时观测器方程。,53,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,状态重构误差方程,降阶观测器特征方程,54,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,降阶观测器特征方程,55,四、按极点配置设计观测器,3.3状态空间设计法,4、降阶观测器,例：单轴卫星姿态控制系统离散状态方程,假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的根配置在原点，即。假定是能量测的状态，是需要估计的状态。,解：,56,设被控对象的离散状态空间描述为,控制器由状态观测器（此处以预报观测器为例）和状态反馈控制律组成，即,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,1、控制器组成,57,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,2、分离性原理,状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组成：一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出重构出状态；另一部分是控制规律，它直接反馈重构的状态，构成状态反馈控制。,58,设被控对象的离散状态空间描述为,控制器由观测器(以预报观测器为例)和状态反馈控制律组成，即,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,2、分离性原理,59,为了求得闭环系统的极点，需首先求出整个闭环系统的状态方程。为此，令闭环系统的状态,闭环系统的状态方程为,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,2、分离性原理,60,矩阵形式：,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,2、分离性原理,闭环系统特征方程：,（第二列加到第一列）,61,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,2、分离性原理,（第二行减去第一行）,（根据状态反馈与状态观测器特征方程）,可见，闭环系统的2n个极点由两部分组成，一部分是按极点配置设计的控制规律给定的n个极点，称为控制极点，另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的n个极点，称为观测器极点。两部分相互独立，可分别设计。,62,设状态反馈控制规律为,代入预报观测器方程,观测器与控制规律的关系,得控制器的脉冲传递函数为,将脉冲传递函数转换为差分方程，就可以在计算机上实现数字控制器。,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,3、数字控制器实现,63,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,4、控制器设计步骤,由于控制极点是根据对系统的性能要求给定的，因此要求闭环系统性能应主要取决于控制极点，也即控制极点应是整个闭环系统的主导极点。,观测器极点的引入通常将使系统的性能变差。,为了减小观测器极点的影响，应使得观测器极点所决定的状态重构的跟随速度应远远大于由控制极点所决定的系统响应速度。,极限情况下可将观测器极点均放置在原点，这时状态重构具有最快的跟随速度。,64,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,4、控制器设计步骤,但是，若测量输出存在误差或测量噪声，那么状态重构的跟随速度越快，测量误差对系统的影响也越大。,可见，当要求状态重构有较快的跟踪速度时，也即要求观测器增益矩阵K取较大的数值，从而测量误差或测量噪声对系统的影响也变大。观测器的极点应根据对闭环系统整个性能的要求综合考虑来折衷地选择。,65,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,4、控制器设计步骤,按对系统的性能要求给定n个控制极点。,按极点配置设计出控制规律L。,根据前面讨论，合适地给定观测器的极点。对于全阶状态观测器则需给定n个极点，对于降阶状态观测器给定n-1个极点。若测量中不存在较大的误差或噪声，则可考虑按状态重构的跟随速度比控制极点所对应的系统响应速度快5倍以上的要求给定观测器的极点；,66,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,4、控制器设计步骤,选择所采用的观测器的类型。若测量比较准确，而且它便是其中的一个状态，则可考虑选用降阶观测器；否则仍选用全阶观测器。若控制器的计算延时与采样周期的大小处于同一量级，则可考虑采用预报观测器，否则可考虑采用现时观测器。,根据给定的观测器极点及所选定的观测器类型计算增益矩阵K。,67,五、控制器设计,3.3状态空间设计法,5、设计举例,计算机控制系统具有如图所示的机构（只考虑调节系统），其中控制对象传递函数为,要求闭环系统的性能相应于阻尼系数=0.5、无阻尼振荡频率n=1的二阶连续系统。设采样周期T=1s，要