D53多元函数的导数与微分

,第五章,第三节,一、方向导数与偏导数,二、全微分,四、高阶偏导数及高阶全微分,多元数量值函数的导数与微分,三、梯度及其与方向导数的关系,五、多元复合函数的偏导数和全微分,六、由一个方程确定的隐函数的微分法,3.1、方向导数与偏导数,其单位向量记为,方向的变化率.,解：,f(x)在点处沿方向l的变化率，就是当点x在直线L,上变化时f(x)在点处的变化率.,是一个二元函数.现讨论f在点处沿l,在与固定的情况下，当点x在直线L上变化时，函数,是自变量为t的一元函数，记作,因此，f(x)在处沿方向l的变化率就是函数F(t)在t=0,处的导数，即,一、方向导数的定义,存在，则称此极限值为f在,从而对应的函数值有改变量若,内让自变量x由沿与平行的直线变到,即,沿l方向的方向导数。,关于方向导数的几点说明,之间的距离d.,关于距离的变化率.,沿l方向增加(减少).,方向导数的几何意义,平面与曲面相交的曲线为C.,方向导数的几何意义,它关于l方向的斜率是方向导数,例3.1设二元函数,求f在点(0,0)沿方向,的方向导数.,从而,偏导数的定义,即:,定义3.2,同理给出f对y的偏导数的记号和定义式.,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例,在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!,例3.2求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,先求后代,先代后求,及,定义：,则f对x及y的偏导函数分别定义为,其中,f对x的偏导函数简记为,f对y的偏导函数简记为,偏导函数的定义,设函数,及,例3.3,求,解：,把y的看作常数，对x求导得,把x的看作常数，对y求导得,例3.4设,证:,例3.5求,的偏导数.,解:,求证,第五章,二、全微分在近似计算中的应用,应用,一元函数y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,本小节内容:,一、二元函数全微分的定义,3.2全微分,一、全微分的定义,定义3.3设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内,可以表示为,(x0,y0)处的改变量,其中不依赖于x,y,仅与x0,y0有关，则称,f(x,y)在点(x0,y0)可微，并称为函数f,在点(x0,y0)的全微分,记作,问题：,1.f在什么条件下可微？,2.当f可微时，代表什么？,3.如何计算全微分？,4.函数的可微性与连续性及方向导数（偏导数）之,间又有什么关系？,(x0,y0)可微,则,(1)f在(x0,y0)处连续；,(2)f在(x0,y0)处沿任意l方向的方向导数均存在，特别的，f在(x0,y0)处的两个偏导数均存在，且有,及,其中是l方向上的单位向量.,证：(1)当f在点(x0,y0)可微时,有,或,成立,所以f在(x0,y0)处连续；,(2)由可微的定义,有,取,于是由方向导数的定义式有,由上可知，当f在点(x0,y0)处可微时，f沿任意l,方向的方向导数均存在.,特别地，f在(x0,y0)处的两个偏导数均存在.当分别取(1,0)和(0,1)时，由上式可得,于是由全微分定义，定理得证！,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,二元函数在一点处的全微分不仅与f在该点处的各个偏导数有关，还与各自变量的改变量x,y有关.,如果f在区域的每一点均可微，则称f是内的可微函数.此时全微分可简记为df或dz，其计算公式为,可微与偏导数的关系（1）:,函数可微,偏导数存在,例3.6,f在原点处两个偏导数都存在，但是在原点却不连续，故不可微！,例3.7讨论函数,在点O(0,0)处的连续性与可微性.,易见f在点(0,0)处连续.再由偏导数的定义，可得,证:由,故f在点(0,0)处的两个偏导数均存在.,例3.7讨论函数,在点O(0,0)处的连续性与可微性.,证:,因此,函数在点(0,0)不可微.,定理3.2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,例3.8计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例3.9计算函数,的全微分.,解:,可微与偏导数的关系（2）:,偏导数连续,函数可微,例3.10,在点(0,0)处可微，,但偏导数在点(0,0)不连续.,证明函数,证:易求得,因此有,故f在点(0,0)处可微。,当f不在点(0,0)处时，有,由于,而,不存在，,所以在点(0,0)处间断，同理也在点(0,0)间断.,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,称为偏微分.,的全微分为,于是,例3.11求的全微分.,解:显然，在除了原点之外的所有点，f的所有偏,导数均存在且连续，因此由定理3.2知f可微，则,例3.12求的近似值.,解令,二、全微分在近似计算中的应用,一、复习:,沿任意方向l的方向导数存在,且有,若n元函数f在点可微，,则函数在该点,的单位向量。,第五章,3.3,梯度及其与方向导数的关系,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模（范数）:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,定义3.4（梯度）,即,设函数,则称向量,在点可微，,为函数f,记作,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,它本身没有意义，将,作用于函数f就得到一向量，即,同样可定义二元函数,在点,处的梯度,注：1.方向导数可以表示成：,2.若记,，则利用梯度可将,f在点x处的全微分写成：,方向导数公式,例3.11求二元函数,在点P（-1，1）处,点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向,导数值是多少？u沿哪个方向减小的最快？沿着,哪个方向u的值不变化？,解：,(1)方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向,，方向导数的最大值为,量为,(2),(3)下求使u的变化率为零的方向。令,则：,令,得,，此时u的值不变化。,2.梯度的运算法则,3.4高阶偏导数,1.定义,如果n元函数,的偏导函数,在点对变量的偏导数存在，则称这个偏导,数为f在点先对变量再对变量的二阶偏导,数，记为：,或,或,其中,例如：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，,按求导顺序不同,有,其中和为二阶混合偏导数。,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,例3.12求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,则,定理.,例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明略),证明,例3.13证明函数,满足拉普拉斯方程,证：,3.5多元复合函数的偏导数和全微分,在一元函数的求导法中，复合函数的链式法则发挥,了非常重要的作用。,函数。,本部分将把链式法则推广到多元,论述链式法则。,为了论述简洁，,我们以由两个中间变量和两个,自变量构成的复合函数,为例来,定理3.3,设,和,均在点,处可微，,而函数,在对应的点,处,处可微，,则复合函数,在,也必可微，且其全微分为,（全微分形式不变性）,证明：,令自变量,分别有改变量,则函数,相应地分别有改变量,从而函数,有改变量,由于,均在点,处可微，,故有,其中,是当,时,关于,的高阶无穷小。,又由于函数,在,所对应,的,处可微，,故有,将上述(1)(2)两式带入(3)式并加以整理，,则得,复合函数,的改变量为,其中,要证明定理成立，,只需证明（4）式中的,为,的高阶,无穷小，,即,注意到,均与,无关，,以及,从而有,因此，以下只需证明,由于,而当,充分小时，,由（1）式可知,故,有界，,同理可知,也有界，,因此,有界。,又由,的可微性知,在,处连续，,即当,时，,有,及,所以有,于是由（5）式知,证毕。,由定理可见，,复合函数,有链式法则：,多元函数的复合可以有多种情况，,例如：,（1）设,均可微，,则复合,函数,是,的一元可微函数，,可得,此式称为复合函数,对,的全导数公式。,（2）设,均可微，,则复合函数,可微，,它有一个中间变量、三个自变量，,可得：,（3）设,均可微，,则复合函数,可微，,它有三个中间变量，两个自,变量，可得：,注意:,这里,表示,表示,与,不同,固定y对x求导,固定y、z对x求导。,例3.16,设,其中,可微，求,解:,由于,及,显然可微，故复合函数可微，,把,中的,看作是第一个变量，,看作是,第二变量，有时采用下面的记号更为方便清晰：,其中,表示,对第一个变量的偏导数，,表示,对第二个变量的偏导数。,说明：,例3.17,设,其中,可导，,证:,把,看作是由函数,复合而成，分别对,从而,求证：,及,与,求导得,例3.18,设,其中,具有对各变量的连续的,二阶偏导数，且,求,解:,根据函数的复合结构及复合函数的链式法则，得,注意到,都是,的三元函数，再有链式法则，,其中,表示,先对第i个变量求导，再对第j个求导.,在解决物理、力学等问题时，常需要把一种坐标系下,的偏导数转化成另一种坐标系下的偏导数，如下例：,例3.19,求,与,在极坐标中的,表达式，其中,具有连续的二阶偏导数。,解:,令,从而,此时,可以把,看作,与,复合而成,应用链式法则得,由（1）式得,把四个式子代入（2）式得,将（3）（4）两式平方相加得,将（3）式两端再对x求偏导数，得,同理，将（4）式两端对y求偏导，并化简可得,所以，,在一元函数中，一阶微分具有形式不变性，下面,我们讨论多元函数一阶全微分形式的不变性。,以二元复合函数为例,设函数,的全微分为,可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,设,其中,对于多元复合函数,若f可微，u也可微，则,即,把,中的,看作中间变,量或自变量时的全微分形式完全一样，这一性质称为,一阶全微分形式不变性（高阶全微分不具有此性质）,全微分的有理运算法则,例3.20,设,可微，求,的偏导数。,解:,利用一阶全微分形式不变性，可得,所以，,3.6由一个方程确定的隐函数的微分法,常会遇到一些函数，其因变量与自变量的关系以方程,形式联系起来，例如：,可把x、y看作自变量，z看作因变量，则方程确定了,两个连续的二元函数：,设方程,若存在n元函数,代入方程恒成立,则称,是由,确定的隐函数,定理3.4（隐函数存在定理）,则方程,个有连续导数的函数y=f(x),(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,的某邻域内可唯一确定一,满足：,在点,它满足：,若二元函数,的某邻域内有连续的偏导数；,在点,以及,并且,两边对x求导,在,的某邻域内,则,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还可求隐函数的,定理3.4（推广）,若函数,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,