MATLAB第5章解方程

第5章MATLAB的符号运算,5.1符号对象的创建5.2基本的符号运算5.3符号微积分5.4符号方程的求解,5.1符号对象的创建（定义）,MATLAB提供了一种数据类型:符号型数据,可以进行符号运算，是符号运算的对象，因此也把符号数据称为符号对象。符号对象可以是符号变量、符号常量、符号表达式或符号矩阵。符号对象要先定义，后引用。如何定义符号变量、符号常量、符号表达式或符号矩阵？,用sym函数、syms函数可以将运算量定义为符号型数据。sym函数syms函数,（一）建立符号变量和符号常数,1、sym函数主要功能：创建单个符号变量。调用形式：符号变量名=sym(符号字符串)将符号字符串创建为一个符号变量，符号变量的值就是该符号字符串，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。注意：每次调用该函数，只能定义一个符号变量。使用方法举例,a=sym(a)%将a创建为符号变量，以a作为输出变量名a=ab=sym(b)x=sym(x)y=sym(y)符号变量的名字不一定和字符串中的字母相同例如：m=sym(y)Sym函数可以定义符号常数：k1=sym(9);k2=sym(3);%定义符号变量r1=9;r2=3;%定义数值变量k1+sqrt(k2)%符号计算（精确的数学表达式）ans=9+3(1/2)r1+sqrt(r2)%数值计算（近似为一个有限小数）ans=10.7321,2、syms函数syms函数的功能与sym函数类似。但syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：symsarg1arg2argN将arg1,arg2,argN定义为符号变量。例如：symsabcdxy使用方便、书写简洁、意义清楚，一般提倡使用syms创建符号变量。,（二）定义符号表达式符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。有三种定义方法：用sym函数定义用syms函数定义(用已定义的符号变量组成符号表达式)用单引号定义,f1=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6)f1=3*x2-5*y+2*x*y+6symsxy（必须先定义xy)f2=3*x2-5*y+2*x*y+6f2=3*x2-5*y+2*x*y+6f3=3*x2-5*y+2*x*y+6f3=3*x2-5*y+2*x*y+6,例如，将数学表达式定义为符号表达式y=1+sqrt(5*x)/2y=1+sqr(5*x)/2f=sym(1+sqrt(5*x)/2)f=1+sqrt(5*x)/2symsxv=1+sqrt(5*x)/2v=1+1/2*5(1/2)*x(1/2),（三）定义符号矩阵,使用sym和syms函数可以创建符号矩阵，可以直接输入或从数值矩阵转换。,例2：创建一个符号矩阵两种方法,m=sym(a,b;c,d)m=a,bc,dsymsabcdn=a,b;c,dn=a,bc,d,注意：符号矩阵与普通矩阵的区别：命令窗口的显示形式不同；工作空间窗口显示的变量图标不同。,建立符号矩阵Z=sym(a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78);Z=a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78symsabxyalpZ1=a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78Z1=a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78,（四）符号表达式中符号变量的确定在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表前面的字母作为变量的系数（常数），而用排在后面的字母（如x,y,z）表示变量。例如：f=ax2+bx+c表达式中，将x看作自变量，a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数。,i,j通常表示虚数单位，在符号运算中不能用作自变量,在MATLAB中引用符号表达式时，有符号常量和符号变量，如何确定谁是符号自变量呢？可以由用户可以指定；若用户没有指定符号变量，则自动使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。findsym函数的原则为：自变量为在字母顺序排列的位置上最接近x的小写字母（除了i和j之外）。如果式子中没有上述字母，则x会被视为默认的自变量。如下表：,符号表达式默认自变量a*x2+b*x+cx1/(4+cos(t)t4*x/yx2*a+bb2*i+4*jx,查询符号表达式的默认自变量findsym函数可以查询表达式中使用的符号变量个数及变量名。引用格式为：findsym（f,n）说明：f为用户定义的符号函数，n为正整数，表示查询变量的个数。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。,【例3】查询符号函数中的系统默认变量。symsabntx%定义符号变量f=a*xn+b*t;%给定符号表达式findsym(f,1)%在f函数中查询1个系统默认变量ans=x表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。findsym(f,2)ans=x,tfindsym(f,5)ans=x,t,n,b,a以最接近x顺序排列的5个默认自变量findsym(f)ans=a,b,n,t,x返回f表达式中按字母顺序排列的全部自变量,5.2基本的符号运算,符号表达式的四则运算2.符号表达式的因式分解、展开、分式通分3.符号表达式的化简,1.符号表达式的四则运算,symadd（f1,f2)f1+f2symsub（f1,f2)f1-f2symmul（f1,f2)f1*f2symdiv（f1,f2)f1/f2sympow（f1,f2)f1f2,f=2*x2+3*x-5g=x2-x+7symadd(f,g)ans=3*x2+2*x+2symsub(f,g)ans=x2+4*x-12symmul(f,g)ans=(2*x2+3*x-5)*(x2-x+7)symdiv(f,g)ans=(2*x2+3*x-5)/(x2-x+7)sympow(f,3*x)ans=(2*x2+3*x-5)(3*x),2.符号表达式的因式分解、展开、分式通分因式分解函数为factor调用格式为：factor(s)举例符号表达式的展开函数为expand调用格式为：expand(s)举例同类项合并函数为collect调用格式为：collect(s,n)举例S为符号表达式，n为要合并系数的自变量符号表达式的分式通分函数为numden调用格式为：n,d=numden(s)举例n为通分后的分子，d为分母,3.符号表达式的化简表达式的化简函数为simple、simplify调用格式为：simplify(s)使用Maple的化简规则化简函数r,how=simple(s)用多种方法寻找符号表达式s的最简型，r为返回的化简形式，how为化简过程使用的主要方法举例,【例1】对表达式进行因式分解symsxf=factor(x9-1)f=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)pretty(f)%按照类似书写习惯的方式显示(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)【例2】对大整数12345678901234567890进行因式分解factor(sym(12345678901234567890),【例3】展开表达式和symsxyf=(x+1)5;expand(f)ans=x5+5*x4+10*x3+10*x2+5*x+1f=sin(x+y);expand(f)ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),【例4】对表达式分别将自变量x和t的同类项合并symsxtf=x*(x*(x-6)+12)*t;collect(f)ans=t*x3-6*t*x2+12*t*xcollect(f,t)ans=x*(x*(x-6)+12)*t,【例5】对表达式进行通分symsxyf=x/y+y/x;n,d=numden(f)n=x2+y2d=y*x,【例6】对表达式进行化简symsxf=sin(x)2+cos(x)2;simplify(f)ans=1【例7】将表达式用嵌套形式表示。symsxhorner(x3-6*x2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x,2.符号表达式的替换通过符号替换使表达式的输出形式简化，得到一个简单的表达式符号表达式的替换函数有：subexpr、subs调用格式：y,sigma=subexpr(s,sigma)用变量sigma的值替换表达式s中重复出现的字符串，y返回替换后的结果。调用格式：r=subs(s,old,new)举例用新的符号变量new代替表达式s中的变量old，r为返回替换后的结果。,【例8】分别用新变量替换表达式a+b和表达式中的变量symsabsubs(a+b,a,5)ans=5+bsubs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)ans=cos(alpha)+sin(2),1.符号极限函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：,5.3符号微积分,limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,【例1】求极限symsx；%定义符号变量f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3；%确定符号表达式w=limit(f)%求函数的极限,w=-1/2,符号微分diff函数用于对符号表达式求微分。该函数的一般引用格式为：diff(s,v,n)其中：s为符号表达式，n为正整数，v为变量。说明：diff（s，v，n）或diff（s，n，v）求符号表达式s对于自变量v求n阶微分。diff（s）求符号表达式s对于默认自变量的一阶微分。diff（s，v）求符号表达式s对于自变量v的一阶微分。diff（s，n）求符号表达式s对于默认自变量求n阶微分。,【例2】求下列函数：f=xx的导数和3次导数symsx%定义符号变量f=xxdiff(f)diff(f,3),3符号积分函数int可以实现符号表达式的积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)a、b表示定积分运算的下限和上限。int（s,v,a,b）求符号表达式s对于自变量v从a到b的定积分。int（s,a,b）求符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积分。int（s）求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。int（s,v）求符号表达式s对于自变量v的不定积分。,【例3】求下述积分。求积分：symsxint(1/(1+x2)ans=atan(x),【例4】定义一个符号函数fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。symsabcxy%定义符号变量fxy=(a*x2+b*y2)/c2；%生成符号函数diff(fxy，x)%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c2diff(fxy，y)%符号函数fxy对y求导数ans=2*b*y/c2int(fxy，x)%符号函数fxy对x求积分ans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),4.符号求和(级数求和)表达式求和（级数求和）运算是数学中常见的一种运算。函数symsum可以实现表达式求和。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：symsum(s,a,b),【例5】求级数的和:1/12+1/22+1/32+1/42+找出通项式：symsksymsum(1/k2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+=2/6,思考：,5.Taylor级数展开Taylor级数展开由函数taylor实现。其调用格式为：taylor(f):计算表达式f在默认自变量等于0处的5阶Taylor级数展开式。taylor(f,n,v):计算表达式f在默认自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式。taylor(f,n,v,a):计算表达式f在默认自变量v=a处的n-1阶Taylor级数展开式。,【例6】求表达式的5阶Taylor级数展开式symsxf=1/(5+cos(x)r=taylor(f)r=1/6+1/72*x2,解代数方程（组）的函数为solve格式为：solve(expr)solve(expr,var)solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN)solve(expr1,expr2,.,exprN)expr1,expr2,.,exprN为代数方程组，var1,var2,.varN为未知数（自变量）。说明：若不指明符号表达式expr1,expr2,.,exprN的值，系统默认为0。例如给出一个表达式x2-3*x-8,则系统将按x2-3*x-8=0进行运算；故应将等号右侧的数值移过来。,5.4符号方程的求解,1.代数方程求解,【例7】解代数方程：a*x2-b*x-6=0symsabxsolve(a*x2-b*x-6)solve(a*x2-b*x6)ans=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2)即该方程有两个根:x1=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)；x2=1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2),【例8】求解代数方程组,symsxyxf=x2-y2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;x,y,z=solve(f,g,h)s=solve(f,g,h);s.x,s.y,s.z,x=-19/80+19/240*2409(1/2)-19/80-19/240*2409(1/2)y=-11/80+11/240*2409(1/2)-11/80-11/240*2409(1/2)Z=-3/40+1/