与角平分线有关的辅助线(经典-加深).ppt

与角平分线有关的辅助线,台州市书生中学,对应边相等、对应角相等,全等形,角平分线,SSS、SAS、ASA、AAS；HL,全等三角形,性质,定义,应用,判定,全等三角形知识体系,既然全等三角形的对应边和对应角都相等。那么今后在证明线段（边）和角相等的问题中，全等就将被作为一个基本方法来使用（但请注意不是唯一的方法），,学以致用,生活中的对称,轴对称,等腰三角形,等边三角形,轴对称图形,用坐标表示轴对称,利用轴对称变换作图：,作轴对称图形,轴对称知识体系,线段的垂直平分线,如图，ABCDEF，（1）若BAC=70，F=80，则B=（2）若AB=6，DF=4,则EF的长度可取下列各数中的哪个值？（）（A）1（B）2（C）9（D）11（3）若ABC的面积为24，则DEF的面积为（）若AG是ABC的一条中线，DH是DEF的一条中线，且AG=5，则DH=,30,C,24,70,80,5,H,例：已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO，过O任作一直线EF分别交BC、AD于E、F，求证：OE=OF。,BO=DO，,BOC=DOA（对顶角相等）,CO=AO,BOCDOA（SAS）,B=D（全等三角形的对应角相等）,OB=OD，,BOE=DOF,BOEDOF（ASA）,OE=OF（全等三角形的对应边相等）,证明：,在BOE与DOF中,B=D,在BOC与DOA中,例题讲解,须两次全等。,如图，在ABC中，AD平分BAC,BD=CD,求证：B=C,证明：作DEAB，DFAC，垂足分别为EFAD平分BAC，DEAB，DFACDEDF，BEDCFD90在BDE和CDF中BDCDDEDFBDECDFB=C,F,E,例题讲解,如图，BC90，E是BC中点，DE平分ADC，求证（1）AE平分DAB，（2）ABCDAD，（3）AEDE。,证明：作EFAD垂足为FDE平分ADCEFAD，C90EFECE是BC中点ECEBEFEBEFAD，B90AE平分DAB,活学活用,例4.如图，ABCD,，AE平分DAB，DE平分ADC。求证：ABCDAD,E是BC中点.,证明：在DA上截取DFDC，连结EF,辅助线做法一：向角的两边作垂线段（利用角平分线性质），自角平分线一点，是一种常见的。,概括归纳,归纳：当题目的条件出现于某个角的平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，利用角的轴对称性构造全等三角形，也是一种常用的辅助线。,例3.如图所示，在四边形ABCD中，ABAD，AC平分BAD；BADC互补求证：CDBC,证明：作CEAD，交AD延长线于E作CFAB，垂足为FAC平分BAC，CEAD，CFABCECF，CEDCFB90B与ADC互补BADC180CDEADC180CDEB在CED和CFB中CEDCFBCDEBCECFCEDCFBCDBC,例5.如图所示，在四边形ABCD中ABAD，AC平分BAD，B与D互补。求证：CDBC。,证明：在AB上截取AEAD，连结CEAC平分BADDACBAC在ADC和AEC中ADAEDACBACACACADCAECCDCE，DAECB与D互补BD180AECCEB180CEBB,CECBCDBC,例6.如图，点P是ABC的角平分线AD上任一点，且ABAC。求证：PBPCABAC,例7.如图所示，ABCD，E是BC中点，DE平分ADC求证：AE平分BAD。,D,F,E,例8：如图，ABAC，A90，BD平分ABC，CEBD，交BD的延长线为E。求证：BD2CE,例9：已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D为垂足，ABAC。求证：2=1+B,A,B,C,E,D,2,1,3,归纳:利用角的轴对称性作角平分线的垂线，构造一对全等三角形（等腰三角形），又是与角平分线有关的一种添加辅助线的方法。,小结1.全等三角形和轴对称的基础知识2.与角平分线有关的辅助线（常见有三种）。,:（1）基于角平分线的性质作辅助线。（2）基于以角平分线为对称轴而作的辅助线。（3）基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅线。,三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为_.,(x,y),(x,y),4、轴对称的性质：,关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。,1、什么叫线段垂直平分线？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。,2、线段垂直平分线有什么性质？,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等（纯粹性）。,你能画图说明吗？,线段的垂直平分线,3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）,利用轴对称变换作图：,如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？,A,B,L,P,等边三角形,1.等边三角形的性质：