定积分的概念和性质.ppt

第五章定积分,第一节1定积分的概念和性质,引言,不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要,介绍的定积分则是它的另一个侧面.,定积分起源,于求图形的面积和体积等实际问题.,古希腊的阿,基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”,计算过一些几何体的面积和体积,分的雏形.,直到17世纪中叶,提出了定积分的概念,的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,使定积分成为,都曾,这些均为定积,牛顿和莱布尼茨先后,并发现了积分与微分之间,从而,解决有关实际问题的有力工具,引言,直到17世纪中叶,分的概念,给出了计算定积分的一般方法,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积,并发现了积分与微分之间的内在联系,从而使定积分成为,解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微,分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系,-微积分学.,本章先从几何问题与力学问题,引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在,几何与经济学中的应用.,1面积问题（AreaProblem),问题的提出（Introduction),我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决问题的基本思路：变“曲”为“直”,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,例2路程问题（DistanceProblem),把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,对于匀速运动，我们有公式路程=速度X时间,解决变速运动的路程的基本思路,（1）分割,（3）作和,（4）取极限,路程的精确值,(2)取点,定积分的定义,定义,插入若干个分点,区间的长度依次为,在各小区间上任取一点,作乘积,并求和,各小,记,只,我们称,定积分的定义,定义,记,对,怎样的分法,也不论在小区间,点,怎样的取法,要当,时,只,和,定的极限,我们称,如果不论,上,总趋于确,这个极限,记为,叫做被积表达,式,叫做积分变量,叫做积分区间,与,分别叫做积分上限和积分下限.,定积分的定义,定义,积分和,几点说明:,(1),积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与,积分变量的字母无关,即,(2),(3),定积分存在定理,定理1,定理2,且只有有限个间断点,上可积.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,几何意义,定积分的物理意义,变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,已知速度,是时间,且,求物体在这段时间内所经过的路程,变力沿直线所作功,力,变力沿直线所作功,力,定积分的物理意义,例1,利用定积分的定义计算积分,解,故可积.,而定积分的值,从,关.,为便于计算,如图，,则,于是，,取每个小区间的右端,点为,则,例1,利用定积分的定义计算积分,解,取每个小区间的右端,点为,则,故,例1,利用定积分的定义计算积分,解,取每个小区间的右端,点为,则,故,例2,利用定积分表示下列极限：,解,原极限,易见，,若取,则,原极限,由此可见，,被积函数应取为,例2,利用定积分表示以下极限.,解,由此可见，,被积函数应取为,注意到,因而是可积的.,故有,原极限,原极限,注：,今后可直接计算出上述积分结果为,求定积分过程中的辩证思维,恩格斯指出:,“初等数学,即常数的数学,是在形式,逻辑的范围内活动的,至少总的说来是这样;,而变,量数学,-其中最主要的部分是微积分,-本质,上不外乎是辩证法在数学方面的应用”.,从初等数学到变量数学的过渡,反映了人类思维,从形式逻辑向辩证逻辑的跨越,是人类的认识能,力由低级向高级的发展.,求曲边梯形的面积和求变,速直线运动的路程的前两步,即“分割”和“求和”,而且也是初等数学方法中,是初等数学方法的体现,求定积分过程中的辩证思维,从初等数学到变量数学的过渡,反映了人类思维,从形式逻辑向辩证逻辑的跨越,是人类的认识能,力由低级向高级的发展.,求曲边梯形的面积和求变,速直线运动的路程的前两步,即“分割”和“求和”,而且也是初等数学方法中,是初等数学方法的体现,形式逻辑思维的体现.,只有第三步“取极限”这种蕴,含于变量数学中丰富的辩证逻辑思维,才使得微积,分巧妙地、有效地,问题!,解决了初等数学所不能解决的,求定积分过程中的辩证思维,体现了对立统一法则.,定积分中的极限方法,可以使有关常量与变量、,近似与精确、,变与不变等,矛盾的对立双方相互,转化,从而化未知为已知,定积分的近似计算,则定积分,存在.,如同上例,个长度相等的小区间:,每个小区间的长度为,取,则,定积分的近似计算,得到下列常,用近似计算方法:,矩形法,梯形法,定积分的近似计算法很多,这里不再作介绍,随着计算机应用的普及,利用现成的数学软件,计算定积分的近似值已变得非常方便,若本章,的数学实验中将具体进行实践.,例3,解,把区间十等分，,设分点为,相应的函数值为,设,列表如下,例3,用矩形法和梯形法计算积分,的近似值.,解,利用左矩形公式，,得,利用右矩形公式，,得,利用梯形法公式，,得,例3,用矩形法和梯形法计算积分,的近似值.,解,利用梯形法公式，,得,例3,用矩形法和梯形法计算积分,的近似值.,解,利用梯形法公式，,得,实际上是前面两值的平均值，,1.,将和式极限,表示成定积分.,2.,利用定积分的几何意义，说明下列等式：,课堂练习,1.,将和式极限,表示成定积分.,解,原式,完,2.,利用定积分的几何意义，说明下列等式：,解,根据积分的几何意义，,所围成图形的面积，,即在第一,象限的四分之一圆的面积，,其面积等于,此即为等式右端.,内容小结,1.定积分的定义,定积分是特殊和式的极限,分割、求和、取极限三个步骤，,反映了无,限分割与无限求和的思想.,定积分的值完全,由被积函数和积分区间确定，,而与积分变量,内容小结,1.定积分的定义,分割、求