第八知识块--平面解析几何初步、圆锥曲线与方程(第1课时-第5课时)-(1)分解.ppt

第1课时直线的斜率、直线的方程,1理解直线倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2掌握直线方程的几种形式，体会斜截式与一次函数的关系,第八知识块平面解析几何初步、圆锥曲线与方程,【命题预测】在高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程，此类题大都属中、低档题，以选择题和填空题的形式出现，每年必考，直线的倾斜角确定直线的方向，斜率是倾斜角的正切值，对直线斜率的考查也包含了对倾斜角及其取值范围的考查，主要从求直线的斜率、求直线方程以及直线方程的综合应用三方面进行考查,【应试对策】1直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，研究斜率的变化要与倾斜角的变化结合起来考虑，因为倾斜角的范围是0，)，它不是正切函数的单调区间，往往要进行分段讨论2由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时，要注意斜率不存在的情况,【知识拓展】求直线的斜率及倾斜角的范围(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率倾斜角为90的直线无斜率,(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan是单调函数，当由0增大到时，k由0增大到；当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k由趋近于0(k0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观地作出判断,1直线的斜率与倾斜角(1)直线的斜率已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，那么直线PQ的斜率k(x1x2)。斜率,不存在,(2)直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角对于平行于x轴或与x轴重合的直线，规定其倾斜角为.,逆时针,0,2直线方程的五种形式,yy0k(xx0),ykxb,(A2B20),探究：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定(1)若x1x2且y1y2，直线垂直x轴，方程为xx1.(2)若x1x2，且y1y2，直线垂直于y轴，方程为yy1.(3)若x1x2且y1y2，直线方程可用两点式表示,1已知直线l的倾斜角为，且00，0.即A、B、C同号答案：A、B、C同号,4已知直线l的方程为3x5y4，则l在y轴上的截距为_解析：解法一：将直线方程3x5y4变形为直线方程的斜截式，即yx，l在y轴上的截距为.解法二：令x0代入直线l方程，得y，l在y轴上的截距为.答案：,5直线yax1与直线yx2平行，则a_.解析：由a得a1或2.答案：1或2,1直线的倾斜角与斜率的关系,2.斜率公式：k与两点顺序无关3利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1x2x3或kABkAC，则有A、B、C三点共线,【例1】已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是_思路点拨：求出l的斜率k，根据k的范围确定倾斜角的范围解析：l的斜率k1m2，mR，k1.当0k1时，倾斜角的范围是，当k0，倾斜角的范围是，l倾斜角的范围是答案：,变式1：若直线l的斜率k的变化范围是1，则它的倾斜角的变化范围是_解析：当1k0时，倾斜角的范围是，当0k时，倾斜角的范围是.答案：,1求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式(2)由条件建立所求参数的方程(组)(3)解这个方程(组)求参数(4)把所求的参数值代入所设直线方程,2求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论,【例2】直线l经过点P(3,2)且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程思路点拨：题中OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式,解：解法一：设直线l的方程为1(a0，b0)A(a,0)，B(0，b)，.解得.所求的直线方程为1，即2x3y120.解法二：设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，令y0，得直线l在x轴上的截距a3，令x0，得直线l在y轴上的截距b23k.(3)(23k)24.解得k.所求直线方程为y2(x3)，即2x3y120.,变式2：一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点，求AOB的面积最小时直线l的方程解：设l：(a，b0)因为点P(1,4)在l上，所以.由.所以SAOBab8.当，即a2，b8时取等号故4xy80为所求,【例3】求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程思路点拨：注意分两种情形讨论解：(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为ykx，将(5,2)代入ykx中，得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.,(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为，将(5,2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.,变式3：求经过点(2，1)，倾斜角为直线4x3y40的倾斜角一半的直线方程解：设所求直线的倾斜角为，则直线4x3y40的倾斜角为2.tan2，解得tan2或tan.02，0，tan0，即tan2.所求直线方程为y12(x2)，即2xy50.,利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式,【例4】如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点(1)当AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|PB|取最小值时，求直线l的方程,思路点拨：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：点斜式：设l的方程为y1k(x2)，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；,截距式：设l的方程为，将点(2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决,(2)设直线l：y1k(x2)(k0)，分别令y0，x0，得A，B(0,12k)由|PA|PB|4.当且仅当k2，即k1时，|PA|PB|取最小值又k0，k1，这时l的方程是xy30.,变式4：(经典题)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100m，BC80m，AE30m，AF20m，应如何设计才能使草坪面积最大？,解：如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0，20)线段EF的方程为1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30),n20(1)S(100m)(m5)2(0m30)当m5时，S有最大值，这时51.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大,【规律方法总结】1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.,2直线方程的三类、五种形式，要合理选用要深刻理解每种直线方程形式的适用范围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及斜截式的使用条件是直线斜率必须存在；两点式使用条件是直线既不与x轴垂直，也不与y轴垂直；截距式使用条件是两截距都存在，且均不为零3求直线的方程时，要认清题目的条件，选择合适的方程类型；另外，也可采用待定系数法或以方程的定义求解；最后，要把直线方程化成一般式4判断两直线平行、垂直时，要注意斜率不存在时的解.,【例5】已知直线2xsin2y50，则该直线的倾斜角的变化范围是_,【错因分析】解答本题容易出现的错误是认为直线斜率ktan在0，)上是单调函数当已知直线斜率k的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函数的单调性正切函数ktan在0，)上并不是单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是,【答题模板】解：由题意，得直线2xsin2y50的斜率为ksin.又1sin1，所以1k1.当1k0时，倾斜角的变化范围是；当0k1时，倾斜角的变化范围是.故直线的倾斜角的变化范围是.,【状元笔记】由直线的斜率求其倾斜角的范围问题，一般是：先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数的单调性，借助函数的图象，数形结合，确定倾斜角的范围在这里要特别注意：正切函数在0，)上并不是单调的函数，这一点是最容易被忽略的反过来，已知直线的倾斜角的范围求其斜率范围的问题，也同样要注意这一点另外，还要特别关注一点：当直线的倾斜角为时，直线斜率是不存在的.,1已知