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,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,一、以2l为周期的函数的,傅里叶展开,一、以2l为周期的函数的傅里叶展开,周期为2l函数f(x),周期为2函数F(z),变量代换,将F(z)作傅氏展开,f(x)的傅氏展开式,设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在f(x)的连续点处),其中,定理.,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在F(z)的连续点处),变成,是以2为周期的周期函数,其中,令,(在f(x)的连续点处),证毕,说明:,其中,(在f(x)的连续点处),如果f(x)为偶函数,则有,(在f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数,收敛于,如果f(x)为奇函数,则有,例.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有,(2)将,作偶周期延拓,则有,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,为正弦级数.,内容小结,1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式,(x间断点),其中,当f(x)为奇函数时,(偶),(余弦
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