第10节 导数的概念及计算

第10节导数的概念及计算,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善把散落的知识连起来,【教材导读】怎样求曲线过点P(x0,y0)的切线方程.提示:求曲线过点P(x0,y0)的切线,需分点P是切点和不是切点两种情况讨论.(1)点P(x0,y0)是切点,则求出曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率,由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点,则要分以下几步完成:设出切点坐标P(x1,y1);求出过点P(x1,y1)的切线方程为y-y1=f(x1)(x-x1);将点P的坐标代入切线方程,求出x1;将x1的值代入方程y-y1=f(x1)(x-x1)可得过点P的切线方程.,知识梳理,1.函数的平均变化率,平均,(2)几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的.(3)物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在x1,x2上的速度.,斜率,平均,几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0)处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为.(2)函数f(x)的导函数称函数f(x)=为f(x)的导函数.,切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),3.基本初等函数的导数公式,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,4.导数的运算法则和复合函数的导数(1)导数的运算法则f(x)g(x)=;f(x)g(x)=;,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),(2)复合函数的导数复合函数y=f(ax+b)的求导法则为f(ax+b)=af(ax+b).,【拓展提升】1.f(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同.2.f(x0)不一定为0,但f(x0)一定为0.3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.,对点自测,D,2.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为()(A)y=x-2(B)y=-3x+2(C)y=2x-3(D)y=-2x+1,D,D,4.设f(x)=xlnx,若f(x0)=2,则x0=.,解析:f(x)=1+lnx,由1+lnx0=2知lnx0=1,故x0=e.答案:e,考点专项突破在讲练中理解知识,考点一,导数的计算,【例1】(1)(2015全国卷改编)若函数f(x)=emx+x2-mx,则f(x)=.,解析:(1)因为f(x)=emx+x2-mx,所以f(x)=emx(mx)+2x-m=memx+2x-m=m(emx-1)+2x.答案:(1)m(emx-1)+2x,(2)若函数f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2,则f(x)=.,根据函数解析式求函数的导数应根据函数解析式特征结合导数运算公式求解,具体如下:(1)乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.(6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.,反思归纳,【即时训练】(1)已知f(x)=,其导数记为f(x),则f(2016)+f(2016)-f(-2016)+f(-2016)等于()(A)2016(B)0(C)1(D)2,答案:(1)B,(2)导学号18702094已知等比数列an,满足a1=1,a2016=2,函数y=f(x)的导函数为y=f(x),且f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2016),那么f(0)=.,解析:(2)由已知,设g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a2016),则f(x)=xg(x),f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)=a1a2a2016=(a1a2016)(a2a2015)(a3a2014)(a1008a1009)=21008.答案:(2)21008,考点二,导数的几何意义及其应用,解析:令x0,则-x0时,f(x)=lnx-3x,所以x0时,f(x)=-3,f(1)=-2.所以y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.答案:y=-2x-1,考查角度1:求切线方程【例2】导学号18702095已知f(x)为偶函数,当x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.,答案:(2)(1,1),已知斜率k,求切点(x0,f(x0),即解方程f(x0)=k.,反思归纳,解析:(1)y=a-,当x=0时,y=a-1即是y=2x的斜率,所以a-1=2,所以a=3.故选D.(2)因为f(x)=ax3+x+1,所以f(x)=3ax2+1,所以f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为k=3a+1,又f(1)=a+2,所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.答案:(1)D(2)1,考查角度3:求参数的值(或范围)【例4】(1)(2014全国卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)导学号18702096已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.,求参数的取值(范围),利用导数的几何意义,建立关于参数的方程(不等式)求解.,反思归纳,考查角度4:两曲线公切线问题【例5】导学号18702097若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b等于.,答案:1-ln2,备选例题,【例1】已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)等于()(A)-1(B)0(C)2(D)4,求切线方程忽视讨论而致误,易混易错辨析用心练就一双慧眼,解析:点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上.(1)当点O(0,0)是切点时,由f(x)=3x2-6x+2知f(0)=2.直线l的方程为y=2x.又直线l与曲线y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足=4-4a=0,a=1.,易错提醒:(1)“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”这里有两种可能:一是