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文档简介

,第三节,3、球面坐标系下,三重积分的计算,第六章,2、柱面坐标系下,1、直角坐标系下,复习、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量M.,密度函数为,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域上连续,则存在,使得,V为的,体积,积和式”极限,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,方法1.投影法(“先一后二”),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2.截面法(“先二后一”),为底,dz为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,当被积函数在积分域上变号时,因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,其中为三个坐标,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,例2.计算三重积分,解:,用“先二后一”,例3,解一,先重后单,解二,先单后重,将投影到xoy面得D,例3,例4,解,14,解法一,例5,解法二,例6,解,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,其中为,例7.计算三重积分,所,解:在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,例8.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,解,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例10.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例11.
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