力学6.刚体力学2

1,5.5定轴转动中的功能关系,一.力矩的功,力矩的空间积累效应：,力矩的功：,2,二.定轴转动动能定理,令转动动能：,刚体定轴转动动能定理：,（飞轮储能）,3,三.刚体的重力势能,四.应用举例,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能,守恒定律仍成立。,4,5,解：刚体定轴转动,1、受力分析,2、关于O轴列转动定理,6,由求w：,7,（1）平动：质心运动定理,3、求转轴受力,8,（2）转动：关于质心轴列转动定理,为什么？,9,10,解：杆机械能守恒,比用转动定律简单！,势能零点,绕固定轴转动动能,11,杆动能的另一种表达：科尼西定理,势能零点,12,两个同样大小（R），同样质量（M）的球（或圆柱），一个空心对称（金），一个实心（银），外观上无差别，怎样在不破坏外观的前提下区分出它们？,让它们滚起来！滚得快的是实心！,13,5.6刚体的无滑动滚动瞬时转轴（补充）,1、平面平行运动,只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。,质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动,2、无滑动滚动：,任意时刻接触点P瞬时静止,无滑动滚动条件：,【思考】下一时刻P点位置？,14,转动惯量小的滚得快！,质心运动定理,过质心轴转动定理,纯滚动条件（运动学条件）,【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？,15,3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴(*),时刻t接触点P瞬时静止；,在时间(tt+t)内，以P点为原点建立平动坐标系；,时间(tt+t)内，刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕过P点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动（旋转）。,接触点P：,瞬时转轴,瞬时转动中心,16,绕瞬时转轴的转动定理的形式？,虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。,下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体，接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此，关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。,惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度方向相反。,关于过p点转轴的转动惯量,轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：,17,证明：,p点相对惯性系的加速度,p点相对质心的加速度,按切、法向分解：,无滑动滚动：,p点加速度沿半径方向,过p点转轴惯性力矩等于零,18,简单多了！,19,5.7刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,讨论力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,20,刚体定轴转动的角动量守恒定律：,对刚体系，M外z=0时，,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,21,滑冰运动员的旋转,22,例两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑轮的平动加速度。,上面的滑轮,下面的滑轮,质心运动,相对质心的转动,运动约束关系,23,例乒乓球在水平地面上向右运动，并逆时针转动，乒乓球与地面的摩擦因数为，试求乒乓球最后达到的稳定运动状态。,24,经时间t，右行速度和逆时针方向的角速度,分三种情况讨论,（1）经某段时间后，速度和角速度同时为零,此后乒乓球处于静止状态,25,（2）经某段时间后，有,该阶段的末态为,此后，摩擦力仍朝左，右行速度减小，顺时针角速度增大,当满足条件,时，摩擦力消失，小球达到右行纯滚状态,注：1.纯滚动的摩擦力一定是静摩擦力（接触点速度为零，即无相对滑动）。2.若为水平纯滚动，则静摩擦力f=0（刚体忽略滚动摩擦），一直匀速滚下去（接触点即无相对运动，也无相对运动趋势）（若有非零f，则质心运动定理和角动量定理矛盾）,26,（3）经某段时间后，有,该阶段的末态为,此后，摩擦力仍朝左，左行速度增大，逆时针角速度减小,当满足条件,时，摩擦力消失，小球达到左行纯滚状态,27,例匀质细杆直立在光滑地面上，因不稳定而倾倒。在细杆全部着地前，它的下端是否会跳离地面？,杆在倾倒过程中无水平外力杆的质心竖直向下运动,杆跳离地面的临界条件,质心速度与角速度的关系,（因为：）,28,机械能定理,将角速度代入，两边对时间求导（Page187例21）,支持力,杆的下端不会跳离地面,29,时,动力学分析：,O,A,m,一单摆,30,令,31,二复摆,令,*,（C点为质心）,C,O,书P179,32,简谐振动,33,5.9打击中心（centerofpercussion）,质心,质心,质心,打击中心,打击中心,打击中心,向左动,向右动,静止,在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动,34,例以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆，打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程中轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离d。,F,d,O,P,细杆在水平力矩作用下作定轴转动,质心切向加速度,细杆相对O点的转动惯量,质心切向运动方程,切向力为零,打棒球锤子,35,5.10刚体的平衡,36,在某一时刻，刚体静止。若刚体所受外力之和为零，则刚体的质心不动。若刚体所受外力矩之和为零，则刚体无转动。,刚体的平衡条件,37,38,旋进：,如玩具陀螺的运动：,轴转动的现象。,高速旋转的物体，其自转轴绕另一个,39,点的不平行于。,若质量对转轴分布对称，,下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称,对转轴不对称，,的刚体的旋进问题。,刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。,例如，图示的情形：,质量,则：,则对轴上O,40,从而产生旋进运动。,玩具陀螺的旋进：,只改变方向而不改变大小，,41,旋进角速度：,42,地球转轴的旋进，岁差,随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。,北极星,3000年前小熊座,现在小熊座,12000年后天琴座（织女）,T=25800年,43,岁差=恒星年太阳年=20分23秒,44,我国古代已发现了岁差：,每50年差1度（约72/年）,将岁差引入历法：,391年有144个闰月。,45,刚体定轴转动与质点一维运动的对比,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,质点一维运动,刚体定