人教Ａ版选修２－３《正态分布》教学设计.doc

人教版选修正态分布教学设计浙江省黄岩中学 金克勤一、内容与内容解析 正态分布（normal distribution）是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布一般地，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石正态分布的理论基础是中心极限定理.即从一个具有有限均值和方差的任意分布总体中抽取样本容量为的样本，当充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值，方差为的正态分布本节课的重点是从数据分析的角度了解正态分布的概念；从数学建模的角度理解正态分布密度函数。正态分布的教学内容要把握以下几点：（1）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用的结果之和，它的分布就呈钟形曲线，许多随机变量的分布都可以近似地用正态分布来描述。（2）正态分布的特点决定了正态分布密度函数，正态曲线及面积分布规律表达了随机变量的整体性质，用整体来看随机变量的规律，才能得出其根本特征（3）正态分布曲线与面积分布规律非常清晰地展示了重点，=0.6826，随机变量X落在区间（内的概率是0.6826是主体，=0.9974展示了正态分布的全面性，即3原则二、目标与目标解析1从实例理解分析数据的基本思想建立数据分布的概念，分析一组数据所蕴含的规律，首先是要了解这组数据的分布从数据的数字特征：平均数、方差（标准差）、最大值、最小值和频数（频率）等了解数据的分布规律；从数据的直观表示，即直方图形象地表示数据的分布规律2探究正态曲线的来源理解正态曲线的来源，建立钟形曲线的直观印象，从钟形曲线的形态角度理解数据分布通过密度曲线形状特征分析利用信息技术，以探究的方式理解正态分布密度函数的解析式3了解正态分布密度曲线的特点借助直观图形，对比不同参数的正态密度函数的图像，理解两个参数,的含义通过借助Geogebra动态几何工具的代数运算和图形关联的功能，学习和探究的正态分布的性质4了解正态曲线的性质，并能简单地应用三、教学问题诊断正态分布是研究连续型随机变量分布，学生第一次接触连续型随机变量，在接受上有困难正态分布密度曲线的推导十分困难，教材中是直接给出函数解析式，学生对此理解是相当困难由于教材的编写是基于学生没有计算技术辅助，因此对例题的选择和问题的解决造成障碍虽然正态分布在实际生活中有着广泛的应用，但学习过程中缺少典型的案例和解决问题的方法本节课的难点是正确理解正态分布的意义，了解正态分布密度函数及性质，还原正态分布曲线和正态密度函数的形成过程.四、教学支持条件分析由于Geogebra动态几何工具具有很强的概率计算与图形分析功能，是帮助学习和掌握概率统计的优秀工具通过教师有效的设计，借助Geogebra动态几何工具，经过学生观察和思考以及教师的有效引导和示范，可以加深对概念的理解和拓展教学内容五、教学过程设计1引入问题1：同学们，我们现在正处于大数据时代，每个人都要和数据打交道分析数据，用数据说话成为现代人必备的基本能力你会分析数据吗？怎样分析一组数据呢？现在有一组100位同学的数学考试成绩，你想从哪些方面着手分析这组数据，从而了解本次数学考试的情况呢？设计意图：由于100位同学的考试成绩是随机的，并且这组数据是近似地成正态分布的从实例引入数据分析的概念，目的是让学生理解分析数据的基本方法是了解数据的分布引导学生提出数据分析的方法，计算平均数、方差、最大值、最小值、优秀人数等数据分布的情况，并引导学生用直方图直观地表示这组数据的分布情况，培养学生的数据分析素养2新课问题2：对于这100位同学数学考试的成绩，根据我们以前所掌握的知识，借助信息技术进行整理和分析其结果如下，你能发现这组数据的规律吗？设计意图：对于一组数据可以利用Geogebra动态几何工具中的电子表格计算其数字特征，绘制直方图通过绘制其频率直方图可了解数据的分布规律通过对统计数据和直方图的分析，100位同学数学成绩分布是有规律的，分布近似呈钟形曲线分布如果将直方图的轮廓线用一条近似的曲线表示的话，中间相对集中，集中在平均值附近，而两端数据逐渐减少的趋势，即中间高，两头低，左右大致对称，方差表示数据离散的程度，方差小，曲线“高瘦”，方差大，曲线“矮胖”像具有这种性质随机数据的分布规律，称为正态分布问题3：高尔顿板试验带来的思考：由于我们收集的数据还不够多，不能很典型的呈现这类数据的特征英国生物统计学家高尔顿（Galton）做了让小球从钉板随机自由下落的试验，统计小球最后落入钉板下方条状格子内小球的个数 我们可以通过信息技术模拟高尔顿所做的实验，收集数据数据来研究问题通过高尔顿板产生的随机数作出频率分布直方图若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的钟形曲线，我们称此曲线为正态分布密度曲线，简称为正态曲线如果我们知道了描述正态曲线的函数，那么我们就知道了数据分布的规律问题4：寻找描述钟形曲线的函数为了简单起见，我们把钟形曲线的中间放置在轴处（如图）：我们能否找到一个函数，使它的图像与钟形曲线相似？设计意图：从培养学生数学素养的角度，设置这样一个探究环节，目的是培养学生数学建模的素养，让学生认识到正态分布密度函数产生的合理性在这个教学环节中可以组织学生分组讨论，提出并比较相应的函数教师可借助动态几何工具进行画图 首先要求学生观察钟形曲线，确定所寻找的函数应该是偶函数，而且都大于零；曲线与轴所围成的区域的面积为1.这个过程可以分成四个步骤：（1）寻找形似的函数；（2）加标准差这个参数到函数之中，使大时曲线“矮胖”，小时曲线“高瘦”；（3）加均值这个参数到函数中，使在处，函数取到最大；（4）通过系数的调整，使函数图像与轴围成的面积为1.从而得到结论：正态分布密度曲线可以用下面的函数来刻画：，（，+），其中和是参数，且均值为，标准差为的正态分布通常记作问题5.通过正态密度函数，（，+）讨论正态曲线的特点设计意图：通过Geogebra动态几何工具，给出以和是参数的正态密度曲线，通过观察曲线变化的情况，引导学生归纳以下性质：（1） 曲线位于轴上方，与轴不相交；（2） 曲线是单峰的，它关于直线对称；（3） 曲线在处达到峰值；（4） 曲线与轴之间的面积为1；（5） 当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；（6） 当一定时，曲线形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散问题6：以学生考试成绩的分布为例如果本次考试成绩的分布服从平均分，标准差的正态分布，其分布曲线如下图所示那么曲线下之间的区域面积表示什么？设计意图：让学生了解这个随机变量有别于以往所学的离散型变量，它在某一个具体值上的概率都为零我们关心的是随机变量在某一个区间上取值的概率在进行大量重复试验时，随机变量落在一个区间上的频率可以近似地等于概率，而频率等于这个区间所对应的曲边梯形的面积所以可以用记号表示概率：给出正态分布的定义：一般地，如果对于任何实数，（），随机变量满足，则称随机变量满足正态分布（normal distribution），记作（，）3小结（1）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从可近似服从正态分布；现实在生活中很多随机变量都服从或近似服从正态分布如测量的误差，身高和体重等（2）正态曲线有三个重要特征：正态曲线表示均值、中位数和众数相等的数值分布（不偏）；正态曲线以均值为中心完全对称；正态曲线双尾是渐近的（3）历史上的正态分布法国数学家棣莫弗（16671754）在1718年出版的机遇论（The Doctrine of Chances）首次描绘了钟形曲线弗朗西斯高尔顿爵士最早提出用“正态分布”给钟形曲线命名德国数学家高斯（CFGauss,17771855）在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，正态分布也称为高斯分布 六、目标检测设计 1