《D27单调性与极值》PPT课件

,第七节,一、函数单调性的判别法,机动目录上页下页返回结束,二、函数的极值及其求法,函数的单调性与极值,第二章,三、函数在闭区间上的最大值与最小值,一、函数单调性的判别法,定理2.10设函数,证:设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明上单调递增.,机动目录上页下页返回结束,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动目录上页下页返回结束,例2.,二、函数的极值及其求法,定义2.3:,(1),则称为的极大点,称为函数的极大值;,(2),则称为的极小点,称为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,机动目录上页下页返回结束,极大值与极小值,统称为极值.,注意:,函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动目录上页下页返回结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,驻点不一定是极值点,定理2.11,机动目录上页下页返回结束,驻点.,定理2.12(极值第一判别法),邻域内有导数,机动目录上页下页返回结束,求函数极值的一般步骤：P68-69.,可导:驻点,极值可疑点,不可导:不可导点,极值点,不是极值点,极值点,不是极值点,例3.求,的极值.,解:,1)求导数,2)求驻点,令,得,3)列表判别,是极小点，,其极小值为,机动目录上页下页返回结束,例4.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动目录上页下页返回结束,定理2.13(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,机动目录上页下页返回结束,例5.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动目录上页下页返回结束,三、函数在闭区间上的最大值与最小值,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动目录上页下页返回结束,例6.求,最大值和最小值.,解:,机动目录上页下页返回结束,四、应用问题举例,实际问题中，在一定条件下，往往要使“材料最省”，“效率最高”，“性能最好”，“进程最快”等，可归结为求最大（小）值,实际问题中，驻点就是最值点,(k为某一常数),例7.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货,D点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动目录上页下页返回结束,清楚(视角最大)?,观察者的眼睛1.8m,例8.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为xm,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,机动目录上页下页返回结束,2.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,由负变正,为极小值,过,不变号,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,可导:驻点,极值可疑点,不可导:不可导点,极值点,不是极值点,极值点,不是极值点,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,3.连续函数的最值,机动目录上页下页返回结束,（驻点就是最值点.),1.试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,求出该极值,并指出它是极大,机动目